Завдання 215, § 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 215

Параметр за умовою коренів і їхнього значення

При яких значеннях параметра $a$ обидва корені рівняння $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ не більші за 3?

Розв’язання

Функція $f (x) = x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6$ . Вершина параболи має абсцису $x_{v} = \frac{a - 1}{2}$ . Умова, що обидва корені $\leq 3$ , виконується, якщо $D \geq 0$ , $f (3) \geq 0$ і вершина лежить ліворуч від 3 ( $\frac{a - 1}{2} \leq 3$ ).
Знайдемо умови: $D = (a - 1)^{2} - 4 (2 a - 6) = a^{2} - 2 a + 1 - 8 a + 24 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2} \geq 0$ (виконується завжди).
$f (3) = 9 - 3 (a - 1) + 2 a - 6 = 9 - 3 a + 3 + 2 a - 6 = 6 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 6$ .
Вершина: $\frac{a - 1}{2} \leq 3 \Rightarrow a - 1 \leq 6 \Rightarrow a \leq 7$ .
Перетин умов $a \leq 6$ та $a \leq 7$ дає $a \leq 6$ .

Відповідь:

$a \leq 6$ .

Розбір зрозумілий?

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною Завдання 215 с. 39

Параметр за умовою коренів і їхнього значення

Умова

При яких значеннях параметра $a$ обидва корені рівняння $x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6 = 0$ не більші за 3?

Що треба знати

Обидва корені $\leq k$ , якщо $D \geq 0$ , сума коренів $- \frac{b}{a} \leq 2 k$ та добуток $(x_{1} - k) (x_{2} - k) \geq 0$ . Або скористатися властивостями: $x_{1} + x_{2} \leq 6$ і $x_{1} x_{2} \leq 9$ , але точніше перевіряти через розташування коренів відносно точки 3.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь нерівність $(x - 3)^{2} \geq 0$ для обох коренів, або скористайся тим, що якщо $f (3) \geq 0$ , а вершина параболи лежить ліворуч від точки 3, то обидва корені $\leq 3$ .

Розв’язання крок за кроком

Функція $f (x) = x^{2} - (a - 1) x + 2 a - 6$ . Вершина параболи має абсцису $x_{v} = \frac{a - 1}{2}$ . Умова, що обидва корені $\leq 3$ , виконується, якщо $D \geq 0$ , $f (3) \geq 0$ і вершина лежить ліворуч від 3 ( $\frac{a - 1}{2} \leq 3$ ).
Знайдемо умови: $D = (a - 1)^{2} - 4 (2 a - 6) = a^{2} - 2 a + 1 - 8 a + 24 = a^{2} - 10 a + 25 = (a - 5)^{2} \geq 0$ (виконується завжди).
$f (3) = 9 - 3 (a - 1) + 2 a - 6 = 9 - 3 a + 3 + 2 a - 6 = 6 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 6$ .
Вершина: $\frac{a - 1}{2} \leq 3 \Rightarrow a - 1 \leq 6 \Rightarrow a \leq 7$ .
Перетин умов $a \leq 6$ та $a \leq 7$ дає $a \leq 6$ .

Відповідь:

$a \leq 6$ .

Розбір зрозумілий?