Завдання 202, § 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 202

Графічне розв'язання нерівностей

Розв'язати графічно три нерівності, використовуючи малюнок 4.7 (графіки $y = x$ та $y = 4 - \frac{x}{2}$ ):
а) $x > \frac{8}{x}$ ;
б) $x \geq x^{2}$ ;
в) $x < x - 2$ .

Розв’язання

а) Перевіримо точки перетину або підставимо числа. При $x = 4$ : $4 = 2$ , $\frac{8}{4} = 2$ . Точки збігаються. При $x > 4$ (напр. 9): $9 = 3$ , $\frac{8}{9} \approx 0, 9$ . Отже, при $x > 4$ виконується.
б) Графіки перетинаються в точках $(0; 0)$ та $(1; 1)$ . Між цими точками ( $0 < x < 1$ ) графік $x$ вищий за $x^{2}$ .
в) Функція $y = x - 2$ — це пряма лінія. Графік $y = x$ завжди вищий за цю пряму на проміжку, де вона має зміст і перетинається з коренем (вони не перетинаються в межах розглядуваних значень для цього завдання, але умову треба перевірити). Однак, оскільки графіки $y = x$ та $y = 4 - \frac{x}{2}$ дані, а пряма $y = x - 2$ не зображена, це завдання вимагає побудови додаткової прямої. Але за умовою «графічно» — ми шукаємо перетин $x$ та $x - 2$ . Корені рівняння $x = x - 2$ : $x = 0$ (не підходить, бо $0 = 0 \neq = - 2$ ), $x = 9$ ( $9 = 3$ , $9 - 2 = 7$ , не збігається). Тут є помилка в моїй швидкій оцінці. Перевіримо: $x = x - 2$ . Піднесемо до квадрату: $x = (x - 2)^{2} \Rightarrow x = x^{2} - 4 x + 4 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 4) = 0$ . Корені $x = 1$ та $x = 4$ . Перевірка: при $x = 1$ : $1 = 1$ , $1 - 2 = - 1$ (не рівність). При $x = 4$ : $4 = 2$ , $4 - 2 = 2$ (рівність). Отже, єдиний корінь $x = 4$ . Для $x < 4$ графік $x$ вищий за $x - 2$ .

Відповідь:

а) $(4; + \infty)$ ; б) $(0; 1]$ ; в) $[0; 4)$

Розбір зрозумілий?

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною Завдання 202 с. 38

Графічне розв'язання нерівностей

Умова

Що треба знати

Щоб розв'язати нерівність графічно, потрібно побудувати графіки обох частин або порівняти їх з відомими графіками. Нерівність виконується там, де графік лівої частини вищий за графік правої.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а) спробуй підібрати кілька значень $x$ і перевірити нерівність. Для пункту б) порівняй зростання $x$ та $x^{2}$ . Для пункту в) зверни увагу, що графік $y = x - 2$ не на малюнку, але можна оцінити значення.

Розв’язання крок за кроком

а) Перевіримо точки перетину або підставимо числа. При $x = 4$ : $4 = 2$ , $\frac{8}{4} = 2$ . Точки збігаються. При $x > 4$ (напр. 9): $9 = 3$ , $\frac{8}{9} \approx 0, 9$ . Отже, при $x > 4$ виконується.
б) Графіки перетинаються в точках $(0; 0)$ та $(1; 1)$ . Між цими точками ( $0 < x < 1$ ) графік $x$ вищий за $x^{2}$ .
в) Функція $y = x - 2$ — це пряма лінія. Графік $y = x$ завжди вищий за цю пряму на проміжку, де вона має зміст і перетинається з коренем (вони не перетинаються в межах розглядуваних значень для цього завдання, але умову треба перевірити). Однак, оскільки графіки $y = x$ та $y = 4 - \frac{x}{2}$ дані, а пряма $y = x - 2$ не зображена, це завдання вимагає побудови додаткової прямої. Але за умовою «графічно» — ми шукаємо перетин $x$ та $x - 2$ . Корені рівняння $x = x - 2$ : $x = 0$ (не підходить, бо $0 = 0 \neq = - 2$ ), $x = 9$ ( $9 = 3$ , $9 - 2 = 7$ , не збігається). Тут є помилка в моїй швидкій оцінці. Перевіримо: $x = x - 2$ . Піднесемо до квадрату: $x = (x - 2)^{2} \Rightarrow x = x^{2} - 4 x + 4 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 4) = 0$ . Корені $x = 1$ та $x = 4$ . Перевірка: при $x = 1$ : $1 = 1$ , $1 - 2 = - 1$ (не рівність). При $x = 4$ : $4 = 2$ , $4 - 2 = 2$ (рівність). Отже, єдиний корінь $x = 4$ . Для $x < 4$ графік $x$ вищий за $x - 2$ .

Відповідь:

а) $(4; + \infty)$ ; б) $(0; 1]$ ; в) $[0; 4)$

Розбір зрозумілий?