Завдання 179, § 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 179

Розв'язування нерівностей з квадратними дужками

а) $(x - 3)^{2} \leq x^{2} - x$ ;
б) $(x - 2)^{2} + 7 x < x^{2} - 3 x$ ;
в) $1 - (x + 2)^{2} < 5 - x^{2}$ ;
г) $(x - 5)^{2} - 7 > x^{2} + 8$ .

Розв’язання

а) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 6 x + 9 \leq x^{2} - x$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $- 6 x + 9 \leq - x$ . Переносимо $- x$ вліво, а $9$ вправо: $- 5 x \leq - 9$ . Ділимо на $- 5$ (знак нерівності змінюється): $x \geq 1, 8$ .
б) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 4 x + 4 + 7 x < x^{2} - 3 x$ . Скорочуємо $x^{2}$ і зводимо подібні: $3 x + 4 < - 3 x$ . Переносимо $- 3 x$ вліво, а $4$ вправо: $6 x < - 4$ . Ділимо на $6$ : $x < - \frac{2}{3}$ .
в) Розкриваємо дужки: $1 - (x^{2} + 4 x + 4) < 5 - x^{2}$ . Скорочуємо $- x^{2}$ і спрощуємо: $1 - 4 x - 4 < 5$ , тобто $- 4 x - 3 < 5$ . Переносимо $- 3$ вправо: $- 4 x < 8$ . Ділимо на $- 4$ (знак змінюється): $x > - 2$ .
г) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 10 x + 25 - 7 > x^{2} + 8$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $- 10 x + 18 > 8$ . Переносимо $8$ вліво, а $- 10 x$ залишаємо: $- 10 x > - 10$ . Ділимо на $- 10$ (знак змінюється): $x < 1$ .

Відповідь:

а) $x \in [1, 8; + \infty)$ ; б) $x \in (- \infty; - \frac{2}{3})$ ; в) $x \in (- 2; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 1)$ .

Розбір зрозумілий?

§ 4. Розв’язування нерівно- стей з однією змінною Завдання 179 с. 36

Розв'язування нерівностей з квадратними дужками

Умова

а) $(x - 3)^{2} \leq x^{2} - x$ ;
б) $(x - 2)^{2} + 7 x < x^{2} - 3 x$ ;
в) $1 - (x + 2)^{2} < 5 - x^{2}$ ;
г) $(x - 5)^{2} - 7 > x^{2} + 8$ .

Що треба знати

Спочатку розкриваємо дужки за формулою квадрата двочлена $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , а потім зводимо подібні доданки. Якщо $x^{2}$ і $- x^{2}$ скоротяться, залишається лінійна нерівність, яку розв'язуємо як звичайну.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розкрий дужки в кожному пункті та спрости вираз з обох боків нерівності. Зверни увагу на знак нерівності ( $\leq$ , $<$ , $>$ ) і не забудь про нього при знаходженні кореня.

Розв’язання крок за кроком

а) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 6 x + 9 \leq x^{2} - x$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $- 6 x + 9 \leq - x$ . Переносимо $- x$ вліво, а $9$ вправо: $- 5 x \leq - 9$ . Ділимо на $- 5$ (знак нерівності змінюється): $x \geq 1, 8$ .
б) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 4 x + 4 + 7 x < x^{2} - 3 x$ . Скорочуємо $x^{2}$ і зводимо подібні: $3 x + 4 < - 3 x$ . Переносимо $- 3 x$ вліво, а $4$ вправо: $6 x < - 4$ . Ділимо на $6$ : $x < - \frac{2}{3}$ .
в) Розкриваємо дужки: $1 - (x^{2} + 4 x + 4) < 5 - x^{2}$ . Скорочуємо $- x^{2}$ і спрощуємо: $1 - 4 x - 4 < 5$ , тобто $- 4 x - 3 < 5$ . Переносимо $- 3$ вправо: $- 4 x < 8$ . Ділимо на $- 4$ (знак змінюється): $x > - 2$ .
г) Розкриваємо дужки: $x^{2} - 10 x + 25 - 7 > x^{2} + 8$ . Скорочуємо $x^{2}$ : $- 10 x + 18 > 8$ . Переносимо $8$ вліво, а $- 10 x$ залишаємо: $- 10 x > - 10$ . Ділимо на $- 10$ (знак змінюється): $x < 1$ .

Відповідь:

а) $x \in [1, 8; + \infty)$ ; б) $x \in (- \infty; - \frac{2}{3})$ ; в) $x \in (- 2; + \infty)$ ; г) $x \in (- \infty; 1)$ .

Розбір зрозумілий?