Завдання 147, § 3. Подвійні нерівності Double inequalities — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 147

Доведення властивостей середнього та геометричного арифметичного

Довести твердження: а) якщо $a < b$ , то $a < \frac{a + b}{2} < b$ ; б) якщо $0 < a < b$ , то $a < ab < b$ .

Розв’язання

а) Доведемо ліву частину: $a < \frac{a + b}{2}$ . Помножимо на 2 (знак не змінюється): $2 a < a + b$ . Віднімемо $a$ : $a < b$ — це вірно за умовою. Доведемо праву частину: $\frac{a + b}{2} < b$ . Помножимо на 2: $a + b < 2 b$ . Віднімемо $b$ : $a < b$ — вірно. Отже, $a < \frac{a + b}{2} < b$ .
б) Доведемо ліву частину: $a < ab$ . Піднесемо до квадрату (числа додатні): $a^{2} < ab$ . Поділимо на $a$ ( $a > 0$ ): $a < b$ — вірно. Доведемо праву частину: $ab < b$ . Піднесемо до квадрату: $ab < b^{2}$ . Поділимо на $b$ ( $b > 0$ ): $a < b$ — вірно. Отже, $a < ab < b$ .

Відповідь:

а) Доведено, що середнє арифметичне лежить між числами; б) Доведено, що геометричне середнє також лежить між додатними числами.

Розбір зрозумілий?

§ 3. Подвійні нерівності Double inequalities Завдання 147 с. 28

Доведення властивостей середнього та геометричного арифметичного

Умова

Довести твердження: а) якщо $a < b$ , то $a < \frac{a + b}{2} < b$ ; б) якщо $0 < a < b$ , то $a < ab < b$ .

Що треба знати

Середнє арифметичне двох чисел завжди знаходиться між ними. Геометричне середнє також лежить між двома додатними числами, якщо вони різні. Для доведення використаємо властивості нерівностей та розкриття дужок.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для пункту а) треба довести дві частини: що $\frac{a + b}{2}$ більше за $a$ і менше за $b$ . Для пункту б) можна помножити нерівність на додатні числа або скористатися властивістю, що середнє геометричне менше середнього арифметичного.

Розв’язання крок за кроком

а) Доведемо ліву частину: $a < \frac{a + b}{2}$ . Помножимо на 2 (знак не змінюється): $2 a < a + b$ . Віднімемо $a$ : $a < b$ — це вірно за умовою. Доведемо праву частину: $\frac{a + b}{2} < b$ . Помножимо на 2: $a + b < 2 b$ . Віднімемо $b$ : $a < b$ — вірно. Отже, $a < \frac{a + b}{2} < b$ .
б) Доведемо ліву частину: $a < ab$ . Піднесемо до квадрату (числа додатні): $a^{2} < ab$ . Поділимо на $a$ ( $a > 0$ ): $a < b$ — вірно. Доведемо праву частину: $ab < b$ . Піднесемо до квадрату: $ab < b^{2}$ . Поділимо на $b$ ( $b > 0$ ): $a < b$ — вірно. Отже, $a < ab < b$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?