Сторінка 28

Розв’язання

1. Обираємо масу, наприклад, $50\text{кг}$.

2. Знаходимо в таблиці рядок для 50 кг (це жовтий блок).

3. Дивимось на діапазон зросту в цьому блоці: від 155 до 160 см.

4. Записуємо нерівність: $155<\text{Зріст}<160$.

Розв’язання

1. Знайдемо мінімальну швидкість течії: $\frac{40-37}{2}=\frac{3}{2}=1,5\text{км/год}$.

2. Знайдемо максимальну швидкість течії: $\frac{45-34}{2}=\frac{11}{2}=5,5\text{км/год}$.

Розв’язання

1. Цілі значення $x$: 11, 12.

2. а) Для $2x$: $2\cdot 11=22$, $2\cdot 12=24$. Відповідь: 22, 24.

3. б) Для $\frac{x^2}{5}$: при $x=11$ отримуємо $\frac{121}{5}=24,2$ (не ціле); при $x=12$ отримуємо $\frac{144}{5}=28,8$ (не ціле). Відповідь: немає цілих значень.

4. в) Для $3x-5$: при $x=11$ отримуємо $3\cdot 11-5=28$; при $x=12$ отримуємо $3\cdot 12-5=31$. Відповідь: 28, 31.

5. г) Для $\frac{12}{x}$: при $x=11$ отримуємо $\frac{12}{11}\approx 1,09$; при $x=12$ отримуємо $\frac{12}{12}=1$. Відповідь: 1.

Розв’язання

1. Знайдемо межі для виразу а) $2m+3n$:
   - Множимо нерівність на $m$ на 2: $-\frac{3}{2}<2m<\frac{5}{3}$ (тобто $-1,5<2m<1,66\dots$).
   - Множимо нерівність на $n$ на 3: $9<3n<30$.
   - Додаємо нерівності: $(-1,5+9)<2m+3n<(1,66\cdots +30)$, отже $7,5<2m+3n<31,66\dots$.

2. Знайдемо межі для виразу б) $4m-n$:
   - Множимо нерівність на $m$ на 4: $-3<4m<\frac{10}{3}$ (тобто $-3<4m<3,33\dots$).
   - Змінюємо знак нерівності на $n$: $-10<-n<-3$.
   - Додаємо нерівності: $(-3+(-10))<4m-n<(3,33\cdots +(-3))$, отже $-13<4m-n<0,33\dots$.

3. Знайдемо межі для виразу в) $m+n^2$:
   - Знаходимо межі квадрата $n$: оскільки $3<n<10$, то $9<n^2<100$.
   - Додаємо нерівність на $m$ ($-\frac{3}{4}<m<\frac{5}{6}$): $(-\frac{3}{4}+9)<m+n^2<(\frac{5}{6}+100)$, отже $8,25<m+n^2<100,83\dots$.

4. Знайдемо межі для виразу г) $n^2-m$:
   - Використовуємо межі квадрата $n$ ($9<n^2<100$).
   - Змінюємо знак нерівності на $m$: $-\frac{5}{6}<-m<\frac{3}{4}$.
   - Додаємо нерівності: $(9+(-\frac{5}{6}))<n^2-m<(100+\frac{3}{4})$, отже $8,17\cdots <n^2-m<100,75$.

Розв’язання

1. Записуємо нерівність $|x|<3$ у вигляді подвійної нерівності: $-3<x<3$.

Розв’язання

1. Розглядаємо пункт а): $2|x|<\pi$. Ділимо все на 2: $|x|<\frac{\pi }{2}$. Перетворюємо в подвійну: $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$.

2. Розглядаємо пункт б): $|x|-7\le -6$. Додаємо 7 до обох частин: $|x|\le -6+7$, тобто $|x|\le 1$. Перетворюємо в подвійну: $-1\le x\le 1$.

Розв’язання

1. Підрахуємо повні квадрати всередині листка: їх 14.

2. Оцінимо частково заповнені квадрати по краях (верхній край, нижній край, лівий і правий): їх площа приблизно дорівнює площі 10–12 повних квадратів.

3. Складемо подвійну нерівність: $14<S<14+12$, тобто $14<S<26$ (або $14<S<27$ залежно від точності оцінки країв).

Розв’язання

1. а) $|2x-1|<3$ записуємо як $-3<2x-1<3$. Додамо 1 до всіх частин: $-2<2x<4$. Поділимо на 2: $-1<x<2$.

2. б) $|2-0,5x|\le 2,5$ записуємо як $-2,5\le 2-0,5x\le 2,5$. Віднімемо 2: $-4,5\le -0,5x\le 0,5$. Поділимо на $-0,5$ (знак нерівності змінюється): $9\ge x\ge -1$, тобто $-1\le x\le 9$.

3. в) $|\sqrt{x}-5|<1$ записуємо як $-1<\sqrt{x}-5<1$. Додамо 5: $4<\sqrt{x}<6$. Піднесемо до квадрату (умови $x\ge 0$ виконуються): $16<x<36$.

Розв’язання

1. а) Доведемо ліву частину: $a<\frac{a+b}{2}$. Помножимо на 2 (знак не змінюється): $2a<a+b$. Віднімемо $a$: $a<b$ — це вірно за умовою. Доведемо праву частину: $\frac{a+b}{2}<b$. Помножимо на 2: $a+b<2b$. Віднімемо $b$: $a<b$ — вірно. Отже, $a<\frac{a+b}{2}<b$.

2. б) Доведемо ліву частину: $a<\sqrt{ab}$. Піднесемо до квадрату (числа додатні): $a^2<ab$. Поділимо на $a$ ($a>0$): $a<b$ — вірно. Доведемо праву частину: $\sqrt{ab}<b$. Піднесемо до квадрату: $ab<b^2$. Поділимо на $b$ ($b>0$): $a<b$ — вірно. Отже, $a<\sqrt{ab}<b$.