ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 27

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 130–138 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 3. Подвійні нерівності Double inequalities

Завдання 130

Оцінка параметрів куба

Довжина ребра куба — $c$ мм, де $1, 3 \cdot 1 0^{2} < c < 1, 4 \cdot 1 0^{2}$ . Оціни: а) суму довжин усіх ребер куба; б) площу поверхні куба; в) об'єм куба.

Розв’язання

Переведемо межі довжини ребра в сантиметри або залишимо в міліметрах для зручності (залишаємо мм): $130 < c < 140$ .
а) Сума довжин усіх 12 ребер дорівнює $12 c$ . Оцінимо: $12 \cdot 130 = 1560$ і $12 \cdot 140 = 1680$ , отже, сума між $1560$ і $1680$ мм.
б) Площа поверхні дорівнює $6 c^{2}$ . Оцінимо: $6 \cdot 13 0^{2} = 6 \cdot 16900 = 101400$ і $6 \cdot 14 0^{2} = 6 \cdot 19600 = 117600$ , отже, площа між $101400$ і $117600$ мм $^{2}$ .
в) Об'єм дорівнює $c^{3}$ . Оцінимо: $13 0^{3} = 2197000$ і $14 0^{3} = 2744000$ , отже, об'єм між $2197000$ і $2744000$ мм $^{3}$ .

Відповідь:

а) сума ребер: $1560 < S_{ребер} < 1680$ мм; б) площа поверхні: $101400 < S < 117600$ мм $^{2}$ ; в) об'єм: $2197000 < V < 2744000$ мм $^{3}$ .

Завдання 131

Оцінка площ кімнат квартири

План квартири (Мал. 3.3) показує, що вся квартира та вітальня мають форму квадрата з сторонами $x$ і $y$ . Відомо, що $4, 9 < x < 5, 1$ м ( $x$ — сторона вітальні/квартири), а $2, 9 < y < 3, 1$ м ( $y$ — сторона санблоку). З малюнка видно, що спальня має розміри $x \times y$ , вітальня $x \times x$ , санблок $y \times y$ , кухня займає решту. Увага: У тексті завдання сказано, що "вся квартира... мають форму квадрата", але на малюнку вона прямокутна ( $x$ і $y$ різні). Оскільки в умові чітко прописано межі для $x$ та $y$ , будемо оцінювати площі за формулами прямокутника $S = a \cdot b$ .

Розв’язання

Вітальня — квадрат зі стороною $x$ . Площа $S_{віт} = x^{2}$ . Оцінка: $4, 9^{2} = 24, 01$ і $5, 1^{2} = 26, 01$ . Отже, $24, 01 < S_{віт} < 26, 01$ м $^{2}$ .
Спальня — прямокутник зі сторонами $x$ і $y$ . Площа $S_{сп} = x \cdot y$ . Оцінка: мінімум $4, 9 \cdot 2, 9 = 14, 21$ , максимум $5, 1 \cdot 3, 1 = 15, 81$ . Отже, $14, 21 < S_{сп} < 15, 81$ м $^{2}$ .
Санблок — квадрат зі стороною $y$ . Площа $S_{сан} = y^{2}$ . Оцінка: $2, 9^{2} = 8, 41$ і $3, 1^{2} = 9, 61$ . Отже, $8, 41 < S_{сан} < 9, 61$ м $^{2}$ .
Кухня — прямокутник зі сторонами $x$ і $(y - ширина коридору ?)$ . Увага: На малюнку кухня має сторону $x$ (внизу) та сторону, що дорівнює різниці між верхньою частиною ( $y$ ) та санблоком. Простіше: площа всієї квартири $S_{кв} = x \cdot y$ . Оцінка: $4, 9 \cdot 2, 9 = 14, 21$ і $5, 1 \cdot 3, 1 = 15, 81$ . Отже, $14, 21 < S_{кв} < 15, 81$ м $^{2}$ .

Відповідь:

а) площа вітальні: $24, 01 < S < 26, 01$ м $^{2}$ ; б) площа спальні: $14, 21 < S < 15, 81$ м $^{2}$ ; в) площа всієї квартири: $14, 21 < S < 15, 81$ м $^{2}$ .

Завдання 132

Оцінка виразів з коренями

Відомо, що $1, 4 < 2 < 1, 5$ і $2, 2 < 5 < 2, 3$ . Оціни: а) $2 + 5$ ; б) $5 - 2$ ; в) $2 - 2$ ; г) $5 : 2$ .

Розв’язання

а) Сума $2 + 5$ . Мінімум: $1, 4 + 2, 2 = 3, 6$ . Максимум: $1, 5 + 2, 3 = 3, 8$ . Отже, $3, 6 < 2 + 5 < 3, 8$ .
б) Різниця $5 - 2$ . Мінімум: $2, 2 - 1, 5 = 0, 7$ . Максимум: $2, 3 - 1, 4 = 0, 9$ . Отже, $0, 7 < 5 - 2 < 0, 9$ .
в) Різниця $2 - 2$ . Мінімум: $2 - 1, 5 = 0, 5$ . Максимум: $2 - 1, 4 = 0, 6$ . Отже, $0, 5 < 2 - 2 < 0, 6$ .
г) Частка $5 : 2$ . Мінімум: найменший чисельник / найбільший знаменник = $2, 2 : 1, 5 \approx 1, 47$ . Максимум: найбільший чисельник / найменший знаменник = $2, 3 : 1, 4 \approx 1, 64$ . Отже, $1, 47 < 5 : 2 < 1, 64$ .

Відповідь:

а) $3, 6 < 2 + 5 < 3, 8$ ; б) $0, 7 < 5 - 2 < 0, 9$ ; в) $0, 5 < 2 - 2 < 0, 6$ ; г) $1, 47 < 5 : 2 < 1, 64$ .

Завдання 133

Перевірка допустимої маси вантажу

Максимальна маса вантажу — $1, 8$ т ( $1800 кг$ ). Маса техніки $\leq 1690 кг$ , маса піддонів $\leq 95 кг$ . Чи перевищує сума цих мас допустиму межу?

Розв’язання

Переведемо максимальну допустиму масу з тонн у кілограми: $1, 8 т = 1800 кг$ .
Знайдемо найбільшу можливу загальну масу вантажу, додавши максимальні маси окремих частин: $1690 + 95 = 1785 кг$ .
Порівняємо отриману суму з допустимою межею: $1785 < 1800$ .

Відповідь:

Загальна маса вантажу не може перевищити допустиму межу (максимально можлива сума $1785 кг$ менша за $1800 кг$ ).

Завдання 134

Оцінка третього кута трикутника

Кути $α$ і $β$ трикутника задовольняють умови $6 2^{\circ} < α < 6 3^{\circ}$ та $9 5^{\circ} < β < 9 6^{\circ}$ . Потрібно оцінити міру третього кута.

Розв’язання

Знайдемо діапазон значень суми кутів $α + β$ : додаємо нижню межу до нижньої ( $62 + 95 = 157$ ) та верхню до верхньої ( $63 + 96 = 159$ ), отже $15 7^{\circ} < α + β < 15 9^{\circ}$ .
Знайдемо діапазон третього кута $γ$ , віднявши суму від $18 0^{\circ}$ : $180 - 159 < γ < 180 - 157$ .
Обчислимо межі: $2 1^{\circ} < γ < 2 3^{\circ}$ .

Відповідь:

Міра третього кута знаходиться в інтервалі $(2 1^{\circ}; 2 3^{\circ})$ .

Завдання 135

Оцінка площі та довжини паркану клумби

Число $π$ задовольняє $3, 14 < π < 3, 15$ . Радіус круглої клумби $r$ : $2, 5 дм < r < 2, 6 дм$ . Потрібно оцінити площу ( $S$ ) та довжину паркану (довжину кола $L$ ).

Розв’язання

Оцінимо $r^{2}$ : $2, 5^{2} = 6, 25$ , $2, 6^{2} = 6, 76$ , отже $6, 25 < r^{2} < 6, 76$ .
Оцінимо площу $S$ : нижня межа $3, 14 \cdot 6, 25 = 19, 625$ , верхня межа $3, 15 \cdot 6, 76 = 21, 294$ . Отже $19, 6 дм^{2} < S < 21, 3 дм^{2}$ (з округленням).
Оцінимо довжину паркану $L = 2 π r$ : нижня межа $2 \cdot 3, 14 \cdot 2, 5 = 15, 7$ , верхня межа $2 \cdot 3, 15 \cdot 2, 6 = 16, 38$ . Отже $15, 7 дм < L < 16, 4 дм$ .

Відповідь:

Площа клумби становить приблизно від $19, 6$ до $21, 3 дм^{2}$ , а довжина паркану — від $15, 7$ до $16, 4 дм$ .

Завдання 136

Оцінка площі та периметра прямокутного трикутника

Катети $a$ і $b$ прямокутного трикутника такі, що $8, 4 < a < 8, 5$ , $6, 5 < b < 6, 6$ . Оціни площу цього трикутника і його периметр.

Розв’язання

Знайдемо межі для площі: мінімальна площа $\approx \frac{8 , 4 \cdot 6 , 5}{2} = 27, 3$ , максимальна $\approx \frac{8 , 5 \cdot 6 , 6}{2} = 28, 05$ . Отже, $27, 3 < S < 28, 1$ .
Оцінимо гіпотенузу $c$ : мінімальна $\approx 8, 4^{2} + 6, 5^{2} \approx 10, 49$ , максимальна $\approx 8, 5^{2} + 6, 6^{2} \approx 10, 73$ .
Знайдемо межі для периметру: мінімальний $\approx 8, 4 + 6, 5 + 10, 49 = 25, 39$ , максимальний $\approx 8, 5 + 6, 6 + 10, 73 = 25, 83$ .

Відповідь:

Площа $S$ дорівнює приблизно від $27, 3$ до $28, 1 см^{2}$ , периметр $P$ — від $25, 4$ до $25, 8 см$ .

Завдання 137

Розрахунок бюджету для онлайн-курсу

Блогер планує курс з 10 відео. Термін — 3 місяці (так як на 30 відео треба 3 міс). Зарплата проджект-менеджера $50 000-70 000$ грн/міс. Оплата сценаристу $5 000-10 000$ грн за сценарій (припускаємо 1 сценарій на курс). Продакшн коштує $200 000-400 000$ грн.

Розв’язання

Оцінимо зарплату проджект-менеджера за 3 місяці: $50000 \cdot 3 = 150000$ грн (мін.) і $70000 \cdot 3 = 210000$ грн (макс.).
Оцінимо витрати на сценариста: від $5000$ до $10000$ грн.
Витрати на продакшн: від $200000$ до $400000$ грн.
Складемо загальний бюджет: мінімум $= 150000 + 5000 + 200000 = 355000$ грн; максимум $= 210000 + 10000 + 400000 = 620000$ грн.

Відповідь:

Бюджет курсу становитиме від $355000$ до $620000$ грн.

Завдання 138

Категорія суперкрузервейту та вага Усика

WBA затвердила категорію суперкрузервейту з вагою $201-224$ фунтів. Потрібно перетворити це на кілограми, дізнатися масу Олександра Усика та визначити, чи він підходить.

Розв’язання

Переведемо межі ваги в кілограми: $201 \cdot 0, 4536 \approx 91, 17 кг$ і $224 \cdot 0, 4536 \approx 101, 61 кг$ .
Перевіримо масу Олександра Усика: він має вагу близько $109 кг$ (за офіційними даними WBA).
Порівняємо: $109 > 101, 61$ , отже, його вага перевищує верхню межу категорії.

Відповідь:

Межі категорії в кілограмах — від $91, 2$ до $101, 6 кг$ . Олександр Усик важить близько $109 кг$ , тому він не належить до цієї категорії (його вага занадто велика).