Сторінка 26

Розв’язання

1. Для $n+3$: додаємо 3 до обох кінців нерівності $4<n<5$, отримуючи $7<n+3<8$.

2. Для $n-5$: віднімаємо 5 від обох кінців, отримуючи $-1<n-5<0$.

3. Для $2n$: множимо всі частини нерівності на 2: $8<2n<10$.

4. Для $-3n$: множимо на -3 і змінюємо знаки нерівностей місцями: $-25>-3n>-15$, що записується як $-15<-3n<-25$ (хоча краще: $-25<-3n<-15$ — ні, при множенні на від'ємне знак змінюється: $4\cdot (-3)=-12$, $5\cdot (-3)=-15$, отже $-12>-3n>-15$, тобто $-15<-3n<-12$). Перевіримо: при $n=4.5$, $-3n=-13.5$. Отже, правильна оцінка: $-15<-3n<-12$.

5. Для $n^2$: підносимо межі до квадрата (функція $y=x^2$ зростає для додатних $x$): $16<n^2<25$.

Розв’язання

1. Для $2x+3$: множимо на 2 ($-6\le 2x\le 10$), додаємо 3 ($-3\le 2x+3\le 13$).

2. Для $0,1x-2$: множимо на 0,1 ($-0,3\le 0,1x\le 0,5$), віднімаємо 2 ($-2,3\le 0,1x-2\le -1,5$).

3. Для $2-x$: множимо на -1 і змінюємо знаки ($3\ge x\ge -5$, тобто $-5\le -x\le 3$), додаємо 2 ($0\le 2-x\le 5$).

4. Для $10-0,1x$: множимо на -0,1 і змінюємо знаки ($-0,5\ge 0,1x\ge -3$, тобто $-3\le 0,1x\le 0,5$ — ні, краще так: віднімемо $0,1x$ від 10. З умови $-3\le x\le 5$ помножимо на -0,1: $0,3\ge -0,1x\ge -0,5$, тобто $-0,5\le -0,1x\le 0,3$. Додамо 10: $9,5\le 10-0,1x\le 10,3$).

Розв’язання

1. Для $2+\sqrt{3}$: додаємо 2 до меж ($1,7+2<2+\sqrt{3}<1,8+2$), отже $3,7<2+\sqrt{3}<3,8$.

2. Для $\sqrt{3}-1$: віднімаємо 1 ($1,7-1<\sqrt{3}-1<1,8-1$), отже $0,7<\sqrt{3}-1<0,8$.

3. Для $-\sqrt{3}$: множимо на -1 і змінюємо знаки ($-1,8<-\sqrt{3}<-1,7$).

4. Для $2\sqrt{3}$: множимо на 2 ($2\cdot 1,7<2\sqrt{3}<2\cdot 1,8$), отже $3,4<2\sqrt{3}<3,6$.

Розв’язання

1. Оглянь умову зберігання на етикетці: «при температурі від $0^{\circ }\text{C}$ до мінус $5^{\circ }\text{C}$ включно не більше ніж 35 діб».

2. Запиши це як подвійну нерівність для температури $t$: $-5\le t\le 0$.

3. Для жирності, яка зазначена як $73,0\%$, можна вказати діапазон, наприклад: $72,5<p<73,5$ (де $p$ — відсоток жиру).

Розв’язання

1. а) Додаємо нерівності: $12+5<x+y<13+6\Rightarrow 17<x+y<19$. Віднімаємо: $12-6<x-y<13-5\Rightarrow 6<x-y<8$.

2. б) Додаємо: $0,32+0,25<x+y<0,33+0,27\Rightarrow 0,57<x+y<0,60$. Віднімаємо: $0,32-0,27<x-y<0,33-0,25\Rightarrow 0,05<x-y<0,08$.

Розв’язання

1. а) Сума: $7,2+3<x+y<7,4+4\Rightarrow 10,2<x+y<11,4$. Різниця: $7,2-4<x-y<7,4-3\Rightarrow 3,2<x-y<4,4$.

2. б) Сума: $6,42+3,15<x+y<6,45+3,22\Rightarrow 9,57<x+y<9,67$. Різниця: $6,42-3,22<x-y<6,45-3,15\Rightarrow 3,20<x-y<3,30$.

Розв’язання

1. Перевіряємо знаки: $x>0$ і $y>0$, тому множення не змінює напрямку нерівності.

2. Знаходимо нижню межу: $3\cdot 5=15$.

3. Знаходимо верхню межу: $4\cdot 7=28$.

Розв’язання

1. Обчислюємо нижню межу: $2\cdot 3=6$.

2. Обчислюємо верхню межу: $4\cdot 3,5=14$.

Розв’язання

1. Знаходимо нижню межу частки: $\frac{12}{6}=2$.

2. Знаходимо верхню межу частки: $\frac{15}{5}=3$.

Розв’язання

1. Для нижньої межі частки ділимо найменше $x$ на найбільше $y$: $\frac{16}{4}=4$.

2. Для верхньої межі частки ділимо найбільше $x$ на найменше $y$: $\frac{18}{3}=6$.

Розв’язання

1. Запишіть дві подвійні нерівності для змінних $a$ та $b$.

2. Оберіть одну з чотирьох дій над ними (наприклад, знайти суму $a+b$).

3. Оцініть отриманий вираз, використовуючи правила додавання подвійних нерівностей.

Розв’язання

1. Знайдемо межі для суми сторін: додаємо почленно нерівності $1,3<a<1,4$ і $0,6<b<0,8$, отримуючи $1,9<a+b<2,2$.

2. Знайдемо периметр: множимо кожну частину нерівності на 2, отримуємо $3,8<P<4,4$.

3. Знайдемо межі для площі: множимо найменші числа ($1,3\cdot 0,6=0,78$) та найбільші ($1,4\cdot 0,8=1,12$).

Розв’язання

1. Знайдемо межі для периметру $P$: оскільки $4,2<a<4,3$, то $4\cdot 4,2<4a<4\cdot 4,3$, отже $16,8<P<17,2$.

2. Знайдемо межі для площі $S$: оскільки $4,2<a<4,3$, то $4,2^2<a^2<4,3^2$, що дає $17,64<S<18,49$.

Розв’язання

1. Оцінимо периметр $P$: $3\cdot 1,8<3a<3\cdot 2,1$, отже $5,4\text{м}<P<6,3\text{м}$.

2. Оцінимо площу $S$: оскільки $1,8^2<a^2<2,1^2$, то $3,24<a^2<4,41$. Помножимо на $\frac{\sqrt{3}}{4}$: $\frac{3,24\sqrt{3}}{4}<S<\frac{4,41\sqrt{3}}{4}$.

3. Перевіримо умову $S=\sqrt{3}$: оскільки $\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 0,43$, то мінімальна площа приблизно $0,43\cdot 3,24\approx 1,4$ м². Оскільки $\sqrt{3}\approx 1,73$, і ця величина знаходиться між знайденими межами ($1,4<1,73<1,9$), то така площа можлива.