Сторінка 25

Розв’язання

1. Розглянемо $x=3$:
   а) Ліва частина $0$, права $2\cdot 3=6$. Отже, $0<3<6$ — вірно.
   б) Ліва $-3$, середня $3^2=9$, права $3\cdot 3=9$. Отже, $-3<9<9$ — хибно (бо $9$ не менше за $9$).
   в) Ліва $-3$, середня $9$, права $-(3{)}^3=-27$. Отже, $-3<9<-27$ — хибно.

2. Розглянемо $x=-3$:
   а) Ліва $0$, права $2\cdot (-3)=-6$. Отже, $0<-3<-6$ — хибно.
   б) Ліва $-(-3)=3$, середня $(-3{)}^2=9$, права $3\cdot (-3)=-9$. Отже, $3<9<-9$ — хибно.
   в) Ліва $-(-3)=3$, середня $(-3{)}^2=9$, права $-(-3{)}^3=-(-27)=27$. Отже, $3<9<27$ — вірно.

Розв’язання

1. Для а) $-1<a<1$: Між $-1$ і $1$ знаходиться лише одне ціле число — $0$.

2. Для б) $-2<a<2$: Між $-2$ і $2$ знаходяться цілі числа $-1,0,1$.

3. Для в) $0,1<a<1$: Між $0,1$ і $1$ немає жодного цілого числа, оскільки найближче ціле число до $1$ — це саме $1$, яке не менше за $1$ (а строго менше).

Розв’язання

1. Переведемо дроби у десятковий вигляд: $\frac{8}{9}\approx 0,88\dots$ та $\frac{6}{7}\approx 0,85\dots$.

2. Порівнюємо отримані числа: $0,88\cdots >0,85\dots$, тобто $\frac{8}{9}>\frac{6}{7}$.

3. Оскільки ліва межа більша за праву, проміжок між ними не існує (це порожня множина).

Розв’язання

1. Оскільки вік менший за 20 і більший за 10, це число має вигляд $1d$, тобто десяткова цифра дорівнює 1.

2. Запишемо умову про цифри: кількість одиниць ($o$) на 6 більша за кількість десятків ($d=1$). Отже, $o=1+6$.

3. Знаходимо значення $o$: $1+6=7$. Число дорівнює $17$. Перевірка: $17>10$, $17<20$, різниця цифр $7-1=6$.

Розв’язання

1. Оцінимо нижню межу теоретичної частини: $A\ge 80$. Нижня межа практичної частини: $B\ge 40$.

2. Додамо ці нерівності почленно: мінімальна сума балів дорівнює $80+40=120$.

3. Максимальна сума балів дорівнює сумі максимальних балів за кожну частину: $100+60=160$.

Розв’язання

1. Оцінимо периметр $P$: помножимо всі частини $1,8<a<2,1$ на 4. Отримуємо $7,2<P<8,4$.

2. Оцінимо площу $S$: піднесемо всі частини нерівності до квадрата ($a>0$). $1,8^2<a^2<2,1^2$, тобто $3,24<S<4,41$.

3. Порівняємо отриманий діапазон площі з числом 4: оскільки $3,24<4<4,41$, площа може дорівнювати $4{\text{м}}^2$.

Розв’язання

1. Для пункту а): нижня межа $3$, верхня $12$. Записуємо як $3<x<12$.

2. Для пункту б): нижня межа $-2$, верхня $2$. Записуємо як $-2<x<2$.

3. Для пункту в): нижня межа $-0,3$, верхня $30$. Записуємо як $-0,3<x<30$.

Розв’язання

1. Позначимо розмір монітора через $d$, а відстань — через $x$.

2. Для розміру монітора діапазон 19–24 дюйми записуємо як $19\le d\le 24$.

3. Для відстані від очей до монітора діапазон 50–70 см записуємо як $50\le x\le 70$.

Розв’язання

1. Атракціон «Веселий дракон»: $m\le 40$ кг.

2. Атракціон «Коловорот»: допустимий проміжок між забороненими значеннями, тобто $35<m\le 120$ кг.

3. а) Кататися на кожному можна, якщо виконується умова хоча б для одного з них: $m\le 40$ або $35<m\le 120$. Це об'єднання проміжків: $m\le 120$, але не включаючи заборонені частини. Точніше, це сума множин: $(-\infty ,40]\cup (35,120]=(-\infty ,120]$.

4. б) Кататися на обох можна лише там, де перетинаються умови: $m\le 40$ і $35<m\le 120$. Перетин цих множин — це проміжок $(35,40]$.

Розв’язання

1. Оцінимо $\sqrt{9}=3$, отже $\sqrt{10}$ трохи більше за $3$ (приблизно $3,16$). Тоді $-\sqrt{10}\approx -3,16$.

2. Порівняємо числа: $-3,16<-3$, тому нерівність $-3>c>-\sqrt{10}$ має сенс і записується як $-\sqrt{10}<c<-3$.

3. Для другої частини: $10^{-2}=0,01$, а $10^2=100$. Оскільки $0,01<100$, таке число існує.