Завдання 99, § 2. Властивості числових нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 99

Доведення монотонності функцій

а) Довести, що $y = x$ зростає на всій області визначення. Тобто якщо $x_{1} < x_{2}$ , то $y_{1} < y_{2}$ .
б) Довести, що $y = x^{2}$ зростає при умові $x > 0$ .

Розв’язання

Для пункту а): Областю визначення функції $y = x$ є проміжок $[0; + \infty)$ . Візьмемо два довільні числа $x_{1}, x_{2}$ такі, що $0 \leq x_{1} < x_{2}$ . Оскільки корінь з більшого додатного числа більший за корінь з меншого ( $x$ — зростаюча функція), то $x_{1} < x_{2}$ . Отже, $y_{1} < y_{2}$ , що означає, що функція зростає на всій області визначення.
Для пункту б): Розглянемо випадок $x > 0$ . Візьмемо два числа $x_{1}, x_{2}$ такі, що $0 < x_{1} < x_{2}$ . Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату (оскільки множник $x^{2}$ зберігає знак при множенні на додатне число): $x_{1}^{2} < x_{2}^{2}$ . Це означає, що $y_{1} < y_{2}$ . Отже, функція $y = x^{2}$ зростає на проміжку $(0; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Функція $y = x$ зростає на всій області визначення. б) Функція $y = x^{2}$ зростає при $x > 0$ .

Розбір зрозумілий?

§ 2. Властивості числових нерівностей Завдання 99 с. 20

Доведення монотонності функцій

Умова

Що треба знати

Функція називається зростаючою на певному проміжку, якщо для будь-яких двох різних чисел $x_{1}$ і $x_{2}$ з цього проміжку виконується нерівність $f (x_{1}) < f (x_{2})$ при $x_{1} < x_{2}$ . Для функцій виду $y = x$ та $y = x^{2}$ це можна перевірити через властивості кореня та степеня.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Спробуйте взяти два довільні числа $x_{1} < x_{2}$ з відповідної області визначення і порівняти значення функцій у цих точках, використовуючи властивості нерівностей (наприклад, якщо множник додатний, знак нерівності не змінюється).

Розв’язання крок за кроком

Для пункту а): Областю визначення функції $y = x$ є проміжок $[0; + \infty)$ . Візьмемо два довільні числа $x_{1}, x_{2}$ такі, що $0 \leq x_{1} < x_{2}$ . Оскільки корінь з більшого додатного числа більший за корінь з меншого ( $x$ — зростаюча функція), то $x_{1} < x_{2}$ . Отже, $y_{1} < y_{2}$ , що означає, що функція зростає на всій області визначення.
Для пункту б): Розглянемо випадок $x > 0$ . Візьмемо два числа $x_{1}, x_{2}$ такі, що $0 < x_{1} < x_{2}$ . Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату (оскільки множник $x^{2}$ зберігає знак при множенні на додатне число): $x_{1}^{2} < x_{2}^{2}$ . Це означає, що $y_{1} < y_{2}$ . Отже, функція $y = x^{2}$ зростає на проміжку $(0; + \infty)$ .

Відповідь:

а) Функція $y = x$ зростає на всій області визначення. б) Функція $y = x^{2}$ зростає при $x > 0$ .

Розбір зрозумілий?