Сторінка 20

Розв’язання

1. Для пункту а): Областю визначення функції $y=\sqrt{x}$ є проміжок $[0;+\infty )$. Візьмемо два довільні числа $x_1,x_2$ такі, що $0\le x_1<x_2$. Оскільки корінь з більшого додатного числа більший за корінь з меншого ($\sqrt{x}$ — зростаюча функція), то $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$. Отже, $y_1<y_2$, що означає, що функція зростає на всій області визначення.

2. Для пункту б): Розглянемо випадок $x>0$. Візьмемо два числа $x_1,x_2$ такі, що $0<x_1<x_2$. Піднесемо обидві частини нерівності до квадрату (оскільки множник $x^2$ зберігає знак при множенні на додатне число): $x_1^2<x_2^2$. Це означає, що $y_1<y_2$. Отже, функція $y=x^2$ зростає на проміжку $(0;+\infty )$.

Розв’язання

1. Розглянемо пункт а). Візьмемо приклад $a=2$ і $b=-5$. Тут $a>b$ ($2>-5$) виконується. Але $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}=0,5$, а $\frac{1}{b}=-\frac{1}{5}=-0,2$. Оскільки $0,5>-0,2$, то $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, а не менше. Отже, висновок неправильний.

2. Розглянемо пункт б). Візьмемо приклад $a=2$ і $b=5$. Тут $a<b$ ($2<5$) виконується. Але $\left|a\right|=2$, а $\left|b\right|=5$. Оскільки $2<5$, то $\left|a\right|<\left|b\right|$, а не більше. Отже, висновок неправильний.

Розв’язання

1. Для точки $M(3;7)$: Підставимо $x=3$ і $y=7$ у рівняння $y=x^2-3x+n$: $7=3^2-3\cdot 3+n$. Обчислимо: $7=9-9+n$, отже, $7=0+n$, звідки $n=7$.

2. Для точки $K(-2;3)$: Підставимо $x=-2$ і $y=3$ у рівняння $y=x^2-3x+n$: $3=(-2{)}^2-3\cdot (-2)+n$. Обчислимо: $3=4+6+n$, тобто $3=10+n$. Віднімемо 10 від обох частин: $n=3-10$, отже, $n=-7$.

Розв’язання

1. а) Шукаємо корені рівняння $x^2+2x-35=0$. Знаходимо числа, які при множенні дають $-35$, а при додаванні — $2$: це $7$ і $-5$. Отже, розклад: $(x+5)(x-7)$.

2. б) Для $6x^2-x-1=0$ знаходимо корені. Дискримінант $D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-1)=1+24=25$. Корені: $x_1=\frac{1+5}{12}=\frac{1}{2}$, $x_2=\frac{1-5}{12}=-\frac{1}{3}$. Відповідно множники: $(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})$, або після спрощення на знаменник: $(2x-1)(3x+1)$.

3. в) Для $6a^2+a-2=0$ знаходимо корені. Дискримінант $D=1^2-4\cdot 6\cdot (-2)=1+48=49$. Корені: $a_1=\frac{-1+7}{12}=\frac{1}{2}$, $a_2=\frac{-1-7}{12}=-\frac{2}{3}$. Розклад: $(2a-1)(3a+2)$.

4. г) Для $c^2+\sqrt{2}c-4=0$ знаходимо корені. Дискримінант $D=(\sqrt{2}{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)=2+16=18$. Корені: $c_1=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{18}}{2}=\frac{-\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$, $c_2=\frac{-\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$. Розклад: $(c-\sqrt{2})(c+2\sqrt{2})$.

Розв’язання

1. Аналізуємо останній рядок ($3,7,\ast ,8,\ast ,\ast ,\ast ,\ast ,5$). Відсутні числа: $1,2,4,6,9$. Перевіряємо стовпці та блоки для визначення місця кожного.

2. Заповнюємо таблицю крок за кроком, виключаючи цифри, які вже є в рядку або стовпці. Наприклад, у першій клітинці останнього рядка не може бути $3$ (є в рядку), $7$, $8$, $5$.

3. Після логічного заповнення всіх пропусків отримуємо повну таблицю судоку.