Завдання 98, § 2. Властивості числових нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 98

Практичне завдання з чотирикутниками

1) Намалювати трапецію і паралелограм, виміряти їх сторони та діагоналі, перевірити твердження «Периметр > сума діагоналей». 2) Довести для будь-якого чотирикутника: а) діагональ < півпериметра; б) сума діагоналей < периметр.

Розв’язання

Практична частина: Намалюй трапецію $A B C D$ і паралелограм $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Виміряй довжини всіх чотирьох сторін та двох діагоналей для кожної фігури. Склади нерівність: сума периметра проти суми діагоналей. У будь-якому випадку сума чотирьох сторін буде більшою за суму двох діагоналей, оскільки кожна сторона є стороною трикутника, утвореного діагоналлю та іншими сторонами.
Доведення пункту а): Розглянь діагональ $A C$ чотирикутника $A B C D$ . Вона є спільною стороною для $△ A B C$ і $△ A D C$ . У $△ A B C$ маємо $A B + B C > A C$ , у $△ A D C$ — $A D + D C > A C$ . Це не доводить напряму, краще розбити чотирикутник на два трикутники діагоналлю $B D$ . Тоді в $△ A B D$ : $A B + A D > B D$ . В $△ B C D$ : $B C + C D > B D$ . Склади нерівності: $(A B + A D) + (B C + C D) > 2 \cdot B D$ , тобто периметр $P > 2 \cdot B D$ . Звідси $B D < P /2$ .
Доведення пункту б): Розглянь чотирикутник як об'єкт, утворений двома трикутниками $△ A B D$ і $△ B C D$ , що мають спільну сторону $B D$ . У $△ A B D$ : $A B + A D > B D$ . У $△ B C D$ : $B C + C D > B D$ . Додамо нерівності почленно: $(A B + A D) + (B C + C D) > B D + B D$ . Це означає, що периметр чотирикутника $P = A B + B C + C D + D A$ більший за $2 \cdot B D$ , тобто $B D < P /2$ . Аналогічно для другої діагоналі. Отже, сума діагоналей $A C + B D < (A B + B C + C D + D A) = P$ .

Відповідь:

1) Твердження правильне — периметр завжди більший за суму діагоналей. 2) а) Діагональ менша від півпериметра; б) Сума діагоналей менша від периметра чотирикутника.

Розбір зрозумілий?

§ 2. Властивості числових нерівностей Завдання 98 с. 19

Практичне завдання з чотирикутниками

Умова

Що треба знати

У трикутнику сума двох сторін більша за третю сторону (незрівняльна нерівність). Будь-який чотирикутник можна розбити двома діагоналями на чотири трикутники, або розглянути два трикутники, утворені діагоналлю та двома сторонами.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Для практичної частини намалюй фігури в зошиті і зроби заміри лінійкою. Для доведення скористайся властивістю трикутника (сума двох сторін > третьої).

Розв’язання крок за кроком

Практична частина: Намалюй трапецію $A B C D$ і паралелограм $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Виміряй довжини всіх чотирьох сторін та двох діагоналей для кожної фігури. Склади нерівність: сума периметра проти суми діагоналей. У будь-якому випадку сума чотирьох сторін буде більшою за суму двох діагоналей, оскільки кожна сторона є стороною трикутника, утвореного діагоналлю та іншими сторонами.
Доведення пункту а): Розглянь діагональ $A C$ чотирикутника $A B C D$ . Вона є спільною стороною для $△ A B C$ і $△ A D C$ . У $△ A B C$ маємо $A B + B C > A C$ , у $△ A D C$ — $A D + D C > A C$ . Це не доводить напряму, краще розбити чотирикутник на два трикутники діагоналлю $B D$ . Тоді в $△ A B D$ : $A B + A D > B D$ . В $△ B C D$ : $B C + C D > B D$ . Склади нерівності: $(A B + A D) + (B C + C D) > 2 \cdot B D$ , тобто периметр $P > 2 \cdot B D$ . Звідси $B D < P /2$ .
Доведення пункту б): Розглянь чотирикутник як об'єкт, утворений двома трикутниками $△ A B D$ і $△ B C D$ , що мають спільну сторону $B D$ . У $△ A B D$ : $A B + A D > B D$ . У $△ B C D$ : $B C + C D > B D$ . Додамо нерівності почленно: $(A B + A D) + (B C + C D) > B D + B D$ . Це означає, що периметр чотирикутника $P = A B + B C + C D + D A$ більший за $2 \cdot B D$ , тобто $B D < P /2$ . Аналогічно для другої діагоналі. Отже, сума діагоналей $A C + B D < (A B + B C + C D + D A) = P$ .

Відповідь:

Розбір зрозумілий?