Завдання 97, § 2. Властивості числових нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 97

Доведення нерівності через тотожність

Відомо тотожність $x - y = (x - y) (x + y)$ , де $x \geq 0$ і $y \geq 0$ . Потрібно довести, що якщо $x > y$ , то $x > y$ .

Розв’язання

Запишемо тотожність: $x - y = (x - y) (x + y)$ .
Розглянемо умову $x > y$ . Це означає, що різниця першого множника додатна: $(x - y) > 0$ .
Оскільки $x \geq 0$ і $y \geq 0$ , сума коренів завжди невід'ємна. Якщо хоча б одне з чисел додатне, сума додатна; якщо обидва нулі, то $x = y$ , що суперечить умові. Отже, $(x + y) > 0$ .
Добуток двох додатних чисел є додатним: $(x - y) (x + y) > 0$ . Звідси $x - y > 0$ , що еквівалентно $x > y$ .

Відповідь:

Доведено, що якщо $x > y$ , то $x > y$ .

Розбір зрозумілий?

§ 2. Властивості числових нерівностей Завдання 97 с. 19

Доведення нерівності через тотожність

Умова

Відомо тотожність $x - y = (x - y) (x + y)$ , де $x \geq 0$ і $y \geq 0$ . Потрібно довести, що якщо $x > y$ , то $x > y$ .

Що треба знати

Використовуємо властивість добутку нерівностей. Якщо множники мають різні знаки, знак добутку залежить від того, який з них більший за модулем, але простіше розглянути знаки окремо.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Проаналізуй знаки двох множників у правій частині тотожності при умові $x > y$ . Згадай властивість множення нерівностей на додатне число.

Розв’язання крок за кроком

Запишемо тотожність: $x - y = (x - y) (x + y)$ .
Розглянемо умову $x > y$ . Це означає, що різниця першого множника додатна: $(x - y) > 0$ .
Оскільки $x \geq 0$ і $y \geq 0$ , сума коренів завжди невід'ємна. Якщо хоча б одне з чисел додатне, сума додатна; якщо обидва нулі, то $x = y$ , що суперечить умові. Отже, $(x + y) > 0$ .
Добуток двох додатних чисел є додатним: $(x - y) (x + y) > 0$ . Звідси $x - y > 0$ , що еквівалентно $x > y$ .

Відповідь:

Доведено, що якщо $x > y$ , то $x > y$ .

Розбір зрозумілий?