Завдання 89, § 2. Властивості числових нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 89

Визначення знаку нерівності для від'ємних чисел

Відомо, що $x < y < 0$ . Потрібно поставити замість $*$ знак нерівності ( $<$ або $>$ ) у виразах: а) $x^{3} * y^{2}$ ; б) $- x * 10 y$ ; в) $- x * - y$ ; г) $\frac{1}{x ^{2}} * \frac{1}{y}$ ; ґ) $\frac{x}{x - y} * \frac{y}{x - y}$ ; д) $\frac{x + 1}{x y} * \frac{y + 1}{x y}$ .

Розв’язання

а) $x < y < 0 \Rightarrow x^{3} < 0$ і $y^{2} > 0$ . Але тут порівнюємо $x^{3}$ і $y^{2}$ . Оскільки $∣ x ∣ < ∣ y ∣$ (наприклад, $- 2 < - 1$ ), то $x^{3} = - 8$ , $y^{2} = 1$ . Отже $x^{3} < y^{2}$ .
б) $- x > 0$ і $10 y < 0$ . Тут порівнюємо від'ємне число $- x$ (яке більше за модулем, ніж $y$ ?) Ні, $- x > - y > 0$ . Але $10 y$ від'ємне. Порівняння складне без конкретних чисел, але загалом $- x > 0 > 10 y$ , отже $- x > 10 y$ .
в) $- x$ і $- y$ . Оскільки $x < y < 0$ , то $- x > - y > 0$ . Корінь з більшого числа більший: $- x > - y$ .
г) $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y}$ . $x^{2}$ і $y^{2}$ додатні. Оскільки $∣ x ∣ < ∣ y ∣$ , то $x^{2} < y^{2}$ . Але тут порівнюємо $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y}$ . Припустимо $x = - 2, y = - 1$ : $\frac{1}{4} < - 1$ — неможливо. Тут треба порівнювати $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y ^{2}}$ ? Ні, умовою є $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y}$ . Оскільки $y$ від'ємне, $\frac{1}{y}$ від'ємне, а $\frac{1}{x ^{2}}$ додатне. Отже $\frac{1}{x ^{2}} > \frac{1}{y}$ .
ґ) $\frac{x}{x - y}$ і $\frac{y}{x - y}$ . Знаменник $x - y$ від'ємний (бо $x < y$ ). Чисельники: $x < y$ . Ділимо на від'ємне число, знак змінюється: $\frac{x}{x - y} > \frac{y}{x - y}$ .
д) $\frac{x + 1}{x y}$ і $\frac{y + 1}{x y}$ . Знаменник $x y$ додатний (від'ємне $\times$ від'ємне). Чисельники: $x < y \Rightarrow x + 1 < y + 1$ . Ділимо на додатне число, знак не змінюється: $\frac{x + 1}{x y} < \frac{y + 1}{x y}$ .

Відповідь:

а) $<$ ; б) $>$ ; в) $>$ ; г) $>$ ; ґ) $>$ ; д) $<$ .

Розбір зрозумілий?

§ 2. Властивості числових нерівностей Завдання 89 с. 18

Визначення знаку нерівності для від'ємних чисел

Умова

Що треба знати

Для від'ємних чисел $x < y < 0$ : куб від'ємного числа зберігає знак ( $x^{3} < y^{2}$ — порівнюємо значення); при множенні на від'ємне число знак змінюється; корінь з від'ємного числа не існує, але $- x$ існує, якщо $- x \geq 0$ . При діленні на від'ємне число знак змінюється.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Зверни увагу на знаки чисел та коефіцієнтів. Для дробів порівнюй знаменники та чисельники окремо.

Розв’язання крок за кроком

а) $x < y < 0 \Rightarrow x^{3} < 0$ і $y^{2} > 0$ . Але тут порівнюємо $x^{3}$ і $y^{2}$ . Оскільки $∣ x ∣ < ∣ y ∣$ (наприклад, $- 2 < - 1$ ), то $x^{3} = - 8$ , $y^{2} = 1$ . Отже $x^{3} < y^{2}$ .
б) $- x > 0$ і $10 y < 0$ . Тут порівнюємо від'ємне число $- x$ (яке більше за модулем, ніж $y$ ?) Ні, $- x > - y > 0$ . Але $10 y$ від'ємне. Порівняння складне без конкретних чисел, але загалом $- x > 0 > 10 y$ , отже $- x > 10 y$ .
в) $- x$ і $- y$ . Оскільки $x < y < 0$ , то $- x > - y > 0$ . Корінь з більшого числа більший: $- x > - y$ .
г) $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y}$ . $x^{2}$ і $y^{2}$ додатні. Оскільки $∣ x ∣ < ∣ y ∣$ , то $x^{2} < y^{2}$ . Але тут порівнюємо $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y}$ . Припустимо $x = - 2, y = - 1$ : $\frac{1}{4} < - 1$ — неможливо. Тут треба порівнювати $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y ^{2}}$ ? Ні, умовою є $\frac{1}{x ^{2}}$ і $\frac{1}{y}$ . Оскільки $y$ від'ємне, $\frac{1}{y}$ від'ємне, а $\frac{1}{x ^{2}}$ додатне. Отже $\frac{1}{x ^{2}} > \frac{1}{y}$ .
ґ) $\frac{x}{x - y}$ і $\frac{y}{x - y}$ . Знаменник $x - y$ від'ємний (бо $x < y$ ). Чисельники: $x < y$ . Ділимо на від'ємне число, знак змінюється: $\frac{x}{x - y} > \frac{y}{x - y}$ .
д) $\frac{x + 1}{x y}$ і $\frac{y + 1}{x y}$ . Знаменник $x y$ додатний (від'ємне $\times$ від'ємне). Чисельники: $x < y \Rightarrow x + 1 < y + 1$ . Ділимо на додатне число, знак не змінюється: $\frac{x + 1}{x y} < \frac{y + 1}{x y}$ .

Відповідь:

а) $<$ ; б) $>$ ; в) $>$ ; г) $>$ ; ґ) $>$ ; д) $<$ .

Розбір зрозумілий?