Завдання 90, § 2. Властивості числових нерівностей — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 90

Доведення нерівності з дробами

Довести, що якщо $x > y$ і $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ , то $x > 0$ і $y < 0$ .

Розв’язання

Перетворимо друге умовне нерівність $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ на $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0$ , що дає $\frac{y - x}{x y} > 0$ .
Оскільки $x > y$ , то різниця $y - x$ є від'ємною ( $y - x < 0$ ).
Щоб дріб $\frac{y - x}{x y}$ був додатним при від'ємному чисельнику, знаменник $x y$ також має бути від'ємним ( $x y < 0$ ).
Це означає, що числа $x$ і $y$ мають різні знаки. Оскільки $x > y$ , то більше число $x$ має бути додатним, а менше $y$ — від'ємним.

Відповідь:

Доведено, що $x > 0$ і $y < 0$ .

Розбір зрозумілий?

§ 2. Властивості числових нерівностей Завдання 90 с. 19

Доведення нерівності з дробами

Умова

Довести, що якщо $x > y$ і $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ , то $x > 0$ і $y < 0$ .

Що треба знати

Якщо добуток двох чисел від'ємний ( $ab < 0$ ), то ці числа мають різні знаки. Також якщо $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ , то різниця $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ додатна.

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Скористайся властивістю нерівностей про віднімання однакових величин та розглянь знак добутку $x y$ .

Розв’язання крок за кроком

Перетворимо друге умовне нерівність $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ на $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0$ , що дає $\frac{y - x}{x y} > 0$ .
Оскільки $x > y$ , то різниця $y - x$ є від'ємною ( $y - x < 0$ ).
Щоб дріб $\frac{y - x}{x y}$ був додатним при від'ємному чисельнику, знаменник $x y$ також має бути від'ємним ( $x y < 0$ ).
Це означає, що числа $x$ і $y$ мають різні знаки. Оскільки $x > y$ , то більше число $x$ має бути додатним, а менше $y$ — від'ємним.

Відповідь:

Доведено, що $x > 0$ і $y < 0$ .

Розбір зрозумілий?