Сторінка 18

Розв’язання

1. Для пункту а): $2a<3a$. Коефіцієнт $2$ менший за $3$, і знак нерівності ($<$) відповідає цьому співвідношенню, отже $a$ має бути додатним. Перевіримо: якщо $a>0$, то $2\cdot (\text{додатне})<3\cdot (\text{те саме додатне})$.

2. Для пункту б): $0,5a>a$. Коефіцієнт $0,5$ менший за $1$, але знак нерівності ($>$) протилежний очікуваному для додатного числа. Отже, $a$ має бути від'ємним (при множенні на від'ємне число порядок змінюється).

3. Для пункту в): $-5a<-4a$. Коефіцієнт $-5$ менший за $-4$, і знак ($<$) відповідає цьому порядку, тому множник $a$ додатний.

Розв’язання

1. Варіант А: множення на $-2$ (від'ємне) має змінити знак на $>$, але тут стоїть $<$ — неправильно.

2. Варіант Б: множення на $\sqrt{2}$ (додатне) має зберегти знак $<$, але тут стоїть $>$ — неправильно.

3. Варіант В: ділення на $3$ (додатне) має зберегти знак $<$, але тут стоїть $>$ — неправильно.

4. Варіант Г: віднімання $4$ не змінює знак, отже має бути $a-4<b-4$, а не $>$ — неправильно.

5. Варіант Д: віднімаємо $a$ і $b$ від $0,5$. Оскільки $a<b$, то при відніманні більшого числа результат буде меншим: $0,5-a>0,5-b$. Це правильно.

Розв’язання

1. Пункт а): $5+7<12+8\Rightarrow 12<20$.

2. Пункт б): $6+(-5)>2+(-7)\Rightarrow 1>-5$.

3. Пункт в): $5+x<6+z\Rightarrow 5+x<6+z$ (або просто $x-z<1$, якщо перенести числа, але краще залишити у вигляді суми).

Розв’язання

1. Для пункту а): $15+6>7+4\Rightarrow 21>11$. Нерівність вірна.

2. Для пункту б): $3+(-3)<6+(-2)\Rightarrow 0<4$. Нерівність вірна.

3. Для пункту в): $52+x>36+y\Rightarrow 16+x>y$. Оскільки $x>y$, то $16+x$ точно більше за $y$.

Розв’язання

1. Для пункту а): $2\cdot 5<3\cdot 8\Rightarrow 10<24$. Нерівність вірна.

2. Для пункту б): $\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5}<\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\Rightarrow \frac{2}{20}<\frac{3}{15}\Rightarrow 0,1<0,2$. Нерівність вірна.

3. Для пункту в): $-6\cdot (-3)>-8\cdot (-5)\Rightarrow 18>40$. Це хибна нерівність! Помилка в умові або розумінні: якщо перемножити дві правильні нерівності з від'ємними числами, знак може змінитися. Перевіримо: $-6<-8$ (хибно). Умова $-6>-8$ вірна. Але при множенні двох від'ємних чисел отримуємо додатне. Порівняємо добутки: $18$ і $40$. Оскільки $18<40$, то нерівність $-6\cdot (-3)>-8\cdot (-5)$ не виконується ($18\ngtr 40$).

Розв’язання

1. Для пункту а): $7\cdot 6>5\cdot 3\Rightarrow 42>15$. Нерівність вірна.

2. Для пункту б): $5\cdot \frac{1}{7}<7\cdot \frac{1}{5}\Rightarrow \frac{5}{7}<\frac{7}{5}\Rightarrow 0,\mathrm{71...}<1,4$. Нерівність вірна.

3. Для пункту в): $-4\cdot (-5)<-1\cdot (-4)\Rightarrow 20<4$. Це хибна нерівність ($20$ не менше за $4$). Отже, почленно перемножені числа дають неправильну нерівність.

Розв’язання

1. Склади дві прості нерівності з додатними числами, наприклад: $2<3$ і $4<5$. Перемнож їх: $2\cdot 4=8$ і $3\cdot 5=15$, отже $8<15$.

2. Склади нерівності з від'ємними числами, наприклад: $-2<-1$ і $-4<-3$. Перемнож їх: $(-2)\cdot (-4)=8$ і $(-1)\cdot (-3)=3$, але $8>3$, тому знак змінився.

3. Обговоріть у парах, як правильно записувати нерівності для множення, щоб результат був правильним.

Розв’язання

1. Запишемо умову: $a<b$ і $c>0$.

2. Оскільки знаменник $a$ менший за $b$, то дріб $\frac{c}{a}$ буде більшим за дріб $\frac{c}{b}$.

3. Отже, $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$.

Розв’язання

1. Задача 1 (додавання): У магазині акція — кожна пачка солі коштує 5 грн, а цукру — 8 грн. Якщо до ціни солі додати 3 грн, чи буде вона дорожчою за цукор? ($5+3<8$).

2. Задача 2 (множення): У першій коробці 10 кульок, у другій — 6. Якщо взяти половину кульок з кожної коробки, яка коробка матиме більше кульок? ($\frac{10}{2}>\frac{6}{2}$).

3. Задача 3 (віднімання): У першій скриньці 20 грн, у другій — 15. Якщо витратити по 7 грн з кожної, яка сума залишиться більшою? ($20-7>15-7$).

Розв’язання

1. а) Додаємо 7 до обох частин $m<n$, отже $m+7<n+7$.

2. б) Множимо на $-0,1$ (від'ємне), знак змінюється: $-0,1m>-0,1n$.

3. в) $\sqrt{(-1{)}^{2}m}=\sqrt{m}$ і $\sqrt{(-1{)}^{2}n}=\sqrt{n}$. Оскільки $m<n$, то $\sqrt{m}<\sqrt{n}$.

4. г) Віднімаємо $m$ і $n$ від 1: оскільки $m<n$, то $-m>-n$, отже $1-m>1-n$.

5. ґ) Множимо на 5 (додатне): $5m<5n$. Віднімаємо 1: $5m-1<5n-1$.

6. д) Помножимо $-2n$ і $-2m$ на $-1$: $-2n>-2m$. Додамо $-1$: $-2n-1>-1-2m$.

Розв’язання

1. а) Функція кореня зростає на $[0;\infty )$, отже $\sqrt{x}>\sqrt{y}$.

2. б) Оскільки $x>y>0$, то $x^2>xy$ (бо $x>y$).

3. в) Коефіцієнт $(1-\sqrt{2})$ від'ємний ($\approx -0,41$), тому знак змінюється: $(1-\sqrt{2})x<(1-\sqrt{2})y$.

4. г) Ділимо $y$ на $x$ (додатні числа). Оскільки $x>y$, то $\frac{y}{x}<1$.

5. ґ) При діленні додатних чисел, чим більший знаменник, тим менше дріб. $x>y\Rightarrow \frac{1}{x}<\frac{1}{y}$.

6. д) Знаменники $y-x$ від'ємні (бо $x>y$). Чисельники: $x^{2}y>x{y}^2$ (оскільки $x>y$). Отже, $\frac{\text{більше}}{\text{від’ємне}}<\frac{\text{менше}}{\text{від’ємне}}$.

Розв’язання

1. а) $x<y<0\Rightarrow x^3<0$ і $y^2>0$. Але тут порівнюємо $x^3$ і $y^2$. Оскільки $|x|<|y|$ (наприклад, $-2<-1$), то $x^3=-8$, $y^2=1$. Отже $x^3<y^2$.

2. б) $-x>0$ і $10y<0$. Тут порівнюємо від'ємне число $-x$ (яке більше за модулем, ніж $y$?) Ні, $-x>-y>0$. Але $10y$ від'ємне. Порівняння складне без конкретних чисел, але загалом $-x>0>10y$, отже $-x>10y$.

3. в) $\sqrt{-x}$ і $\sqrt{-y}$. Оскільки $x<y<0$, то $-x>-y>0$. Корінь з більшого числа більший: $\sqrt{-x}>\sqrt{-y}$.

4. г) $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y}$. $x^2$ і $y^2$ додатні. Оскільки $|x|<|y|$, то $x^2<y^2$. Але тут порівнюємо $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y}$. Припустимо $x=-2,y=-1$: $\frac{1}{4}<-1$ — неможливо. Тут треба порівнювати $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y^2}$? Ні, умовою є $\frac{1}{x^2}$ і $\frac{1}{y}$. Оскільки $y$ від'ємне, $\frac{1}{y}$ від'ємне, а $\frac{1}{x^2}$ додатне. Отже $\frac{1}{x^2}>\frac{1}{y}$.

5. ґ) $\frac{x}{x-y}$ і $\frac{y}{x-y}$. Знаменник $x-y$ від'ємний (бо $x<y$). Чисельники: $x<y$. Ділимо на від'ємне число, знак змінюється: $\frac{x}{x-y}>\frac{y}{x-y}$.

6. д) $\frac{x+1}{xy}$ і $\frac{y+1}{xy}$. Знаменник $xy$ додатний (від'ємне $\times$ від'ємне). Чисельники: $x<y\Rightarrow x+1<y+1$. Ділимо на додатне число, знак не змінюється: $\frac{x+1}{xy}<\frac{y+1}{xy}$.