ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 17

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 64–77 · 14 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Властивості числових нерівностей

Завдання 64

Знаходження знаку числа n

Визначити додатне чи від'ємне число $n$ у трьох випадках: а) $3 n < 3, 5 n$ ; б) $- 1, 5 n > - n$ ; в) $0, 2 n < - n$ .

Розв’язання

а) Порівнюємо коефіцієнти: $3 < 3, 5$ . Оскільки менше число перетворилося на більше без зміни знаку нерівності, множник $n$ має бути додатним.
б) Порівнюємо коефіцієнти: $- 1, 5 > - 1$ . Тут більший від'ємний коефіциєнт ( $- 1, 5$ ) перетворився на менший ( $- 1$ ), тобто знак змінився. Це означає, що множник $n$ є від'ємним.
в) Порівнюємо коефіцієнти: $0, 2 < 0$ . Менше число перетворилося на від'ємне (більше за модуль), знак змінився. Отже, $n$ є від'ємним.

Відповідь:

а) додатне; б) від'ємне; в) від'ємне.

Завдання 65

Порівняння дробів із від'ємними знаменниками

Визначити, який з дробів $\frac{1}{a}$ і $\frac{1}{b}$ більший, якщо $b < a < 0$ .

Розв’язання

З умови $b < a < 0$ випливає, що $a$ ближче до нуля, ніж $b$ , тобто $∣ a ∣ < ∣ b ∣$ .
Знаменник першого дробу $\frac{1}{a}$ має менший модуль ( $∣ a ∣$ ), ніж знаменник другого дробу $\frac{1}{b}$ ( $∣ b ∣$ ).
Оскільки обидва числа від'ємні, дріб з меншим знаменником (за модулем) буде більшим за значення.

Відповідь:

Більшим є дріб $\frac{1}{a}$ .

Завдання 66

Порівняння від'ємних дробів

Визначити, який з двох від'ємних дробів $\frac{x}{y}$ і $\frac{y}{x}$ менший, якщо $∣ x ∣ < ∣ y ∣$ .

Розв’язання

Оскільки $x$ і $y$ від'ємні, то дріб $\frac{x}{y} = \frac{∣ x ∣}{∣ y ∣}$ є додатним числом меншим за 1 (оскільки $∣ x ∣ < ∣ y ∣$ ).
Аналогічно, дріб $\frac{y}{x} = \frac{∣ y ∣}{∣ x ∣}$ є додатним числом більшим за 1 (оскільки $∣ y ∣ > ∣ x ∣$ ).
Додатне число менше за одиницю ( $\frac{x}{y}$ ) завжди менше за додатне число більше за одиницю ( $\frac{y}{x}$ ).

Відповідь:

Меншим є дріб $\frac{x}{y}$ .

Завдання 67

Порівняння виразів при

a > 1

Число $a$ більше за 1 ( $a > 1$ ). Потрібно визначити, яке з чисел є найбільшим серед: $3 a$ , $- a$ , $1 - a$ , $1 + 2 a$ .

Розв’язання

Оскільки $a > 1$ , то вираз $3 a$ буде додатним і більшим за $a$ . Наприклад, якщо $a = 2$ , то $3 a = 6$ .
Вираз $- a$ буде від'ємним (оскільки $a > 0$ ). При $a = 2$ це $- 2$ .
Вираз $1 - a$ також буде від'ємним, оскільки від одиниці віднімаємо число більше за 1. При $a = 2$ це $- 1$ .
Вираз $1 + 2 a$ буде додатним і більшим за $a$ . При $a = 2$ це $1 + 4 = 5$ .

Відповідь:

Найбільшим є число $3 a$ .

Завдання 68

Порівняння виразів при

x < - 1

Число $x$ менше від $- 1$ ( $x < - 1$ ). Потрібно визначити, яке з чисел є найбільшим серед: $5 x$ , $5 - x$ , $2 + x$ , $x^{2}$ .

Розв’язання

Виберемо прикладне значення $x = - 2$ , оскільки воно задовольняє умову $x < - 1$ .
Обчислимо значення кожного виразу: $5 (- 2) = - 10$ ; $5 - (- 2) = 7$ ; $2 + (- 2) = 0$ ; $(- 2)^{2} = 4$ .
Порівнюємо отримані числа: $- 10 < 0 < 4 < 7$ . Найбільше значення має вираз $5 - x$ .

Відповідь:

Найбільшим є число $5 - x$ .

Завдання 69

Перетворення нерівності за властивостями

Дано нерівність $12 < 18$ . Потрібно записати нові правильні нерівності після виконання операцій: а) додавання 5; б) віднімання 77; в) множення на 3 та на -5; г) ділення на 3 та на -6.

Розв’язання

а) Додаємо 5 до обох частин: $12 + 5 < 18 + 5 \Rightarrow 17 < 23$ .
б) Віднімаємо 77 від обох частин: $12 - 77 < 18 - 77 \Rightarrow - 65 < - 59$ .
в) Множимо на 3 (знак не змінюється): $12 \cdot 3 < 18 \cdot 3 \Rightarrow 36 < 54$ . Множимо на -5 (знак змінюється): $12 \cdot (- 5) > 18 \cdot (- 5) \Rightarrow - 60 > - 90$ .
г) Ділимо на 3 (знак не змінюється): $12 : 3 < 18 : 3 \Rightarrow 4 < 6$ . Ділимо на -6 (знак змінюється): $12 : (- 6) > 18 : (- 6) \Rightarrow - 2 > - 3$ .

Відповідь:

а) $17 < 23$ ; б) $- 65 < - 59$ ; в) $36 < 54$ та $- 60 > - 90$ ; г) $4 < 6$ та $- 2 > - 3$ .

Завдання 70

Перетворення нерівності

Записати правильну нерівність, утворену в результаті: а) додавання до обох частин $16 > 8$ числа $7$ ; б) віднімання від обох частин $16 > 8$ числа $13$ ; в) множення обох частин $16 > 8$ на $- 3$ ; г) ділення обох частин $16 > 8$ на $4$ .

Розв’язання

а) Додаємо $7$ до обох частин: $16 + 7 = 23$ , $8 + 7 = 15$ . Порівнюємо: $23 > 15$ .
б) Віднімаємо $13$ від обох частин: $16 - 13 = 3$ , $8 - 13 = - 5$ . Порівнюємо: $3 > - 5$ .
в) Множимо обидві частини на $- 3$ : $16 \cdot (- 3) = - 48$ , $8 \cdot (- 3) = - 24$ . Змінюємо знак на протилежний: $- 48 < - 24$ .
г) Ділимо обидві частини на $4$ : $16 : 4 = 4$ , $8 : 4 = 2$ . Порівнюємо: $4 > 2$ .

Відповідь:

а) $23 > 15$ ; б) $3 > - 5$ ; в) $- 48 < - 24$ ; г) $4 > 2$ .

Завдання 71

Порівняння чисел за різницями

Порівняти числа $a$ і $b$ , якщо: а) $a - c$ і $c - b$ — додатні числа; б) $b - c$ і $c - a$ — від'ємні числа; в) $a - n$ і $n - b$ — невід'ємні числа.

Розв’язання

а) Оскільки $a - c > 0$ , то $a > c$ . Оскільки $c - b > 0$ , то $c > b$ . Звідси маємо ланцюжок $a > c > b$ , отже, $a > b$ .
б) Оскільки $b - c < 0$ , то $b < c$ . Оскільки $c - a < 0$ , то $c < a$ . Звідси маємо ланцюжок $b < c < a$ , отже, $b < a$ .
в) Оскільки $a - n \geq 0$ , то $a \geq n$ . Оскільки $n - b \geq 0$ , то $n \geq b$ . Звідси маємо ланцюжок $a \geq n \geq b$ , отже, $a \geq b$ .

Відповідь:

а) $a > b$ ; б) $b < a$ ; в) $a \geq b$ .

Завдання 72

Порівняння чисел за нерівностями з третім числом

Порівняти числа $a$ і $b$ , якщо: а) $a - x \leq 0$ і $x - b \leq 0$ ; б) $a - m > 0$ і $m - b > 0$ ; в) $a - c > 0$ і $b - c < 0$ .

Розв’язання

а) З $a - x \leq 0$ маємо $a \leq x$ . З $x - b \leq 0$ маємо $x \leq b$ . Отже, $a \leq x \leq b$ , що означає $a \leq b$ .
б) З $a - m > 0$ маємо $a > m$ . З $m - b > 0$ маємо $m > b$ . Отже, $a > m > b$ , що означає $a > b$ .
в) З $a - c > 0$ маємо $a > c$ . З $b - c < 0$ маємо $b < c$ , тобто $c > b$ . Отже, $a > c > b$ , що означає $a > b$ .

Відповідь:

а) $a \leq b$ ; б) $a > b$ ; в) $a > b$ .

Завдання 73

Розміщення точок на координатній прямій

Дано нерівності $a < c$ , $b > c$ , $d > b$ . Потрібно визначити порядок точок $a, b, c, d$ на координатній прямій.

Розв’язання

Оскільки $a < c$ і $c < b$ (бо $b > c$ ), то $a < c < b$ . Точка $a$ знаходиться ліворуч від $c$ , а точка $c$ — ліворуч від $b$ .
Також дано, що $d > b$ , отже точка $d$ знаходиться праворуч від точки $b$ .
Об'єднаємо ланцюжки: $a < c < b < d$ . Точка $a$ — найлівоша, потім $c$ , далі $b$ , і справа $d$ .

Відповідь:

На координатній прямій точки розміщені в порядку зростання координат: $a, c, b, d$ (зліва направо).

Завдання 74

Розміщення точок за умовою

Дано нерівності $a > b$ , $a < c$ , $d < a$ , $d > b$ . Потрібно визначити порядок точок $a, b, c, d$ на координатній прямій.

Розв’язання

Маємо $b < a$ (бо $a > b$ ) і $d < a$ . Також $b < d$ (бо $d > b$ ). Звідси отримуємо ланцюжок $b < d < a$ .
Порівняємо $c$ з іншими числами: $c > a$ (бо $a < c$ ). Отже, $c$ є найбільшим числом серед усіх.
Об'єднаємо всі нерівності в один ланцюжок: $b < d < a < c$ .

Відповідь:

Точки розміщені на координатній прямій у порядку зростання: $b, d, a, c$ (зліва направо).

Завдання 75

Порівняння чисел із коренями

Дано числа $a = 52$ , $b = 7$ , $c = 51$ . Потрібно встановити правильний порядок їхнього розміщення (від найменшого до найбільшого).

Розв’язання

Перетворимо число $a$ : $a = 52 = 5^{2} \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50$ .
Число $b$ запишемо як корінь: $b = 7 = 49$ .
Число $c$ вже є коренем: $c = 51$ .
Порівнюємо підкореневі вирази: $49 < 50 < 51$ . Отже, $49 < 50 < 51$ , що означає $b < a < c$ .

Відповідь:

Правильна нерівність: $b < a < c$ (варіант А).

Завдання 76

Порівняння виразів при

a > b

Відомо, що $a > b$ . Потрібно поставити знак нерівності ( $>$ або $<$ ) замість зірочки (*) у наступних парах виразів: а) $2 a * 2 b$ ; б) $- a * - b$ ; в) $a - 7 * b - 7$ ; г) $\frac{1}{2} a * \frac{1}{2} b$ .

Розв’язання

а) Множимо обидві частини $a > b$ на додатне число 2, знак не змінюється: $2 a > 2 b$ .
б) Множимо обидві частини $a > b$ на від'ємне число $- 1$ , знак змінюється на протилежний: $- a < - b$ .
в) Віднімаємо від обох частин $a > b$ число 7, знак не змінюється: $a - 7 > b - 7$ .
г) Множимо обидві частини $a > b$ на додатне число $\frac{1}{2}$ , знак не змінюється: $\frac{1}{2} a > \frac{1}{2} b$ .

Відповідь:

а) $>$ ; б) $<$ ; в) $>$ ; г) $>$ .

Завдання 77

Порівняння виразів при

a < b

(англійською)

Відомо, що $a < b$ . Потрібно поставити знак нерівності ( $>$ або $<$ ) замість зірочки (*) у наступних парах виразів: а) $1, 5 a * 1, 5 b$ ; б) $- 3 a * - 3 b$ ; в) $- a + 7 * - b + 7$ ; г) $2 a^{3} * 2 b^{3}$ .

Розв’язання

а) Множимо на додатне число 1,5, знак не змінюється: $1, 5 a < 1, 5 b$ .
б) Множимо на від'ємне число -3, знак змінюється на протилежний: $- 3 a > - 3 b$ .
в) Додаємо до обох частин одне й те саме число (7), знак не змінюється: $- a + 7 < - b + 7$ .
г) Оскільки $a < b$ і обидва числа, ймовірно, додатні (або навіть якщо від'ємні, але функція $x^{3}$ зберігає порядок), то $a^{3} < b^{3}$ . Множимо на додатне число 2: $2 a^{3} < 2 b^{3}$ .

Відповідь:

а) $<$ ; б) $>$ ; в) $<$ ; г) $<$ .