ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 16

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 57–63 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Властивості числових нерівностей

Завдання 57

Транзитивність нерівностей

Оля нижча Ані, а Аня нижча Іри. Порівняй зріст Олі і Іри.

Розв’язання

Запишемо умову у вигляді математичних нерівностей: зріст Олі ( $О$ ) менший за зріст Ані ( $А$ ), а зріст Ані менший за зріст Іри ( $І$ ). Отримуємо $О < A$ і $A < I$ .
Згідно з властивістю транзитивності (або додаючи нерівності почленно, якщо розглядати відхилення від середнього), маємо $О < I$ .

Відповідь:

Зріст Олі менший за зріст Іри ( $О < I$ ).

Завдання 58

Порівняння чисел через ланцюжок нерівностей

Порівняй числа $x$ і $z$ , якщо: а) $x < y$ і $y < z$ ; б) $x > y$ і $y > z$ ; в) $x \leq a$ і $a \leq z$ .

Розв’язання

а) Оскільки $x < y$ і $y < z$ , то згідно з транзитивністю $x < z$ .
б) Оскільки $x > y$ і $y > z$ , то $x > z$ .
в) Оскільки $x \leq a$ і $a \leq z$ , то $x \leq z$ .

Відповідь:

а) $x < z$ ; б) $x > z$ ; в) $x \leq z$ .

Завдання 59

Вплив додавання однакових величин на нерівність

На одній шальці терезів стоїть гиря 5 кг, а на другій пачка борошна, маса якої менше. Як зміниться розташування шальок терезів, якщо на обидві шальки покласти по гирьці 1 кг?

Розв’язання

Нехай маса гирі $G = 5$ кг, а маса борошна $B$ . За умовою $B < 5$ .
Додамо по 1 кг до обох шальок: нова маса гирі буде $5 + 1 = 6$ , нова маса борошна — $B + 1$ .
Оскільки ми додавали однакове число (1 кг) до обох частин нерівності $B < 5$ , напрямок нерівності не зміниться: $(B + 1) < (5 + 1)$ .

Відповідь:

Розташування шальок не зміниться; шалька з борошном іще легша за шальку з гирею.

Завдання 60

Порівняння мас пачок

Відомо, що пачка гречки легша за пачку борошна ( $m_{гречки} < m_{борошна}$ ). Потрібно порівняти масу 3 таких пачок гречки і 3 таких пачок борошна.

Розв’язання

Нехай $m_{1}$ — маса пачки гречки, а $m_{2}$ — маса пачки борошна. За умовою маємо $m_{1} < m_{2}$ .
Оскільки число 3 є додатним ( $3 > 0$ ), то при множенні нерівності на це число знак нерівності не зміниться: $3 \cdot m_{1} < 3 \cdot m_{2}$ .

Відповідь:

Маса трьох пачок гречки менша за масу трьох пачок борошна.

Завдання 61

Визначення хибного твердження

Відомо, що $a < b$ . Потрібно визначити, яке з наведених тверджень є хибним:
А) $a + 5 < b + 5$ ;
Б) $2 a < 2 b$ ;
В) $a - 3 > b - 3$ ;
Г) $- 5 a > - 5 b$ .

Розв’язання

Твердження А: Додали 5 до обох частин — знак не змінився ( $a + 5 < b + 5$ ), це істинно.
Твердження Б: Помножили на додатне число 2 — знак не змінився ( $2 a < 2 b$ ), це істинно.
Твердження В: Відняли 3 від обох частин — знак має залишитися таким самим, тобто $a - 3 < b - 3$ . У твердженні написано протилежне ( $>$ ), отже, це хибно.
Твердження Г: Помножили на від'ємне число -5 — знак змінився на протилежний ( $- 5 a > - 5 b$ ), це істинно.

Відповідь:

Хибним є твердження В.

Завдання 62

Перевірка вантажу

Маса однієї дині не більша $5, 5$ кг ( $m_{1} \leq 5, 5$ ), а другої не більша $8, 5$ кг ( $m_{2} \leq 8, 5$ ). Пакет витримує $15$ кг. Чи можна донести їх разом?

Розв’язання

Запишемо нерівності для мас динь: $m_{1} \leq 5, 5$ і $m_{2} \leq 8, 5$ .
Додамо ці нерівності почленно: $m_{1} + m_{2} \leq 5, 5 + 8, 5$ .
Обчислимо суму: $5, 5 + 8, 5 = 14$ . Отже, загальна маса динь не перевищує $14$ кг.
Порівнюємо з міцністю пакета: $14 < 15$ . Оскільки максимальна маса менша за допустиму, дині можна донести.

Відповідь:

Так, пан Микола може донести їх у пакеті.

Завдання 63

Порівняння виразів за координатною прямою

На малюнку (Мал. 2.1) зображена координатна пряма. Точка $0$ — початок відліку. Точка $a$ знаходиться праворуч від нуля ( $a > 0$ ), а точка $b$ — ліворуч ( $b < 0$ ). Потрібно порівняти значення виразів:
а) $a$ чи $a + 2 b$ ;
б) $b$ чи $b - 2 a$ .

Розв’язання

З малюнка видно, що $a > 0$ (додатне число) і $b < 0$ (від'ємне число).
Для пункту а): розглянемо вираз $a + 2 b$ . Оскільки $b < 0$ , то $2 b < 0$ . Додавання від'ємного числа до $a$ зменшує його значення, тому $a > a + 2 b$ .
Для пункту б): розглянемо вираз $b - 2 a$ . Оскільки $a > 0$ , то $- 2 a < 0$ . Віднімання додатного числа (або додавання від'ємного) до $b$ зменшує його значення, тому $b > b - 2 a$ .

Відповідь:

а) $a$ більше; б) $b$ більше.