ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 15

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1–2 · 2 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Властивості числових нерівностей

Завдання 1

Транзитивність та додавання до нерівності

Сформулюй і доведи теорему про транзитивність ( $a < b$ і $b < c \Rightarrow a < c$ ) та про додавання одного й того самого числа до обох частин ( $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ ).

Розв’язання

Для транзитивності: якщо $a < b$ , то $a - b < 0$ . Якщо $b < c$ , то $b - c < 0$ . Сума $(a - b) + (b - c) = a - c$ також від'ємна, отже $a < c$ .
Для додавання: якщо $a < b$ , то $a - b < 0$ . Оскільки $(a + c) - (b + c) = a - b$ , різниця залишається від'ємною, тому $a + c < b + c$ .

Відповідь:

Теорема про транзитивність: якщо $a < b$ і $b < c$ , то $a < c$ . Доведення: сума двох від'ємних чисел від'ємна. Теорема про додавання: якщо $a < b$ , то для будь-якого $c$ виконується $a + c < b + c$ . Доведення: різниця частин не змінюється при додаванні однакового числа.

Завдання 2

Властивості множення та почленного додавання/множення

Сформулюй теорему про а) множення на одне й те саме число; б) почленне додавання нерівностей з однаковими знаками; в) почленне множення нерівностей з однаковими знаками.

Розв’язання

Множення: якщо $a < b$ і $c > 0$ , то $a c < b c$ ; якщо $c < 0$ , то $a c > b c$ .
Почленне додавання: якщо $a < b$ і $c < d$ , то $a + c < b + d$ .
Почленне множення: якщо $a < b, c < d$ і всі числа додатні ( $a, b, c, d > 0$ ), то $a c < b d$ .

Відповідь:

а) Множення на додатне число зберігає знак нерівності, на від'ємне — змінює. б) Сума лівих частин менша за суму правих частин ( $a + c < b + d$ ). в) Добуток лівих частин менший за добуток правих частин при додатних множниках ( $a c < b d$ ).