Сторінка 13

Розв’язання

1. а) Оскільки $c^2\ge 0$ для будь-якого $c$, то $c^2+3\ge 3$. Отже, $c^2+3>0$.

2. б) Вираз $(c+2{)}^2$ є квадратом числа $(c+2)$. Квадрат будь-якого числа невід'ємний, але дорівнює нулю лише при $c=-2$. Тоді $(c+2{)}^2=0$, що не задовольняє умову строгої нерівності. Отже, для всіх $c\ne -2$ нерівність правильна, а при $c=-2$ вона хибна (рівність). Увага: у завданні йдеться про "правильну нерівність", але квадрат може дорівнювати нулю. Якщо вимагається строго більше нуля, то виконується не для всіх $c$, а для всіх $c\ne -2$. Однак, якщо це задача на перевірку властивості квадрата, то часто мають на увазі невід'ємність. Перевіримо умову: "Доведи, що при кожному значенні n правильна нерівність". Це означає, що твердження має бути істинним для всіх $c$. Але $(c+2{)}^2>0$ хибне при $c=-2$. Можливо, в умові підручника допущена неточність або мається на увазі $\ge 0$. Проте, дотримуючись тексту завдання: твердження не є правильним для всіх $c$, оскільки існує випадок рівності.
   Корекція розв'язання згідно зі стандартною школьною логікою: Часто такі задачі перевіряють знання, що квадрат завжди $\ge 0$. Якщо в умові написано саме $>$, то твердження хибне при $c=-2$. Але якщо це завдання на доведення властивості, можливо, мається на увазі інше. Давайте перевіримо варіант в): $(c-1{)}^2\ge 0$ — це завжди істина. Для б) і а) — це суто додатні вирази (за винятком випадку нулю для б).
   Альтернативне тлумачення: Можливо, автор мав на увазі $\ge 0$ для всіх випадків. Але якщо писати строго:
   а) $c^2\ge 0\Rightarrow c^2+3\ge 3>0$. (Правильно).
   б) $(c+2{)}^2\ge 0$. Рівність при $c=-2$. Тобто $>0$ не завжди.
   в) $(c-1{)}^2\ge 0$. (Правильно як нерівність $\ge$).
   Однак, оскільки це завдання на доведення "правильності", ймовірно, автор мав на увазі саме властивість невід'ємності квадрата.
   Давайте розглянемо їх як перевірку знання того, що квадрат $\ge 0$.
   а) $c^2\ge 0$, отже $c^2+3>0$ завжди.
   б) $(c+2{)}^2\ge 0$. Це не завжди $>0$. Але якщо це завдання з підручника Бевз, то там часто йдеться про те, що квадрат додатний для всіх $x\ne -2$, а при $-2$ — нуль.
   Висновок: Найімовірніше, в умові завдання 41б) мається на увазі $\ge 0$, або ж це "пастка". Але оскільки я мушу дати розбір:
   а) $c^2\ge 0\Rightarrow c^2+3>0$ (визначно додатне).
   б) $(c+2{)}^2\ge 0$. Якщо вимагається $>0$, то це не для всіх $c$. Але якщо завдання "Доведи, що...", то ймовірно, мається на увазі $\ge 0$ або автор забув про випадок нуля.
   Рішення: Я напишу розбір з урахуванням того, що квадрат завжди невід'ємний.

3. в) $(c-1{)}^2\ge 0$ для будь-якого $c$, оскільки квадрат будь-якого числа є невід'ємним. Рівність досягається при $c=1$.

Розв’язання

1. а) $(a-3{)}^2\ge 0$ для будь-якого $a$. Додамо до обох частин 2: $(a-3{)}^2+2\ge 2$. Отже, вираз завжди більше за 0.

2. б) Розкладемо на множники або переведемо у повний квадрат: $4a^2-4a+1=(2a-1{)}^2$. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то $(2a-1{)}^2\ge 0$ завжди.

3. в) Перенесемо $6a$ у ліву частину: $9a^2-6a+2$. Спробуємо записати як повний квадрат: $(3a-1{)}^2=9a^2-6a+1$. Отже, $9a^2-6a+2=(3a-1{)}^2+1$. Оскільки $(3a-1{)}^2\ge 0$, то $(3a-1{)}^2+1\ge 1>0$.

Розв’язання

1. Позначимо числа як $x>0$ і $y>0$. Квадрат їхньої суми: $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$. Сума квадратів: $x^2+y^2$.

2. Знайдемо різницю: $(x+y{)}^2-(x^2+y^2)=x^2+y^2+2xy-x^2-y^2=2xy$.

3. Оскільки $x>0$ і $y>0$, то їхній добуток $xy>0$, отже $2xy>0$. Це означає, що $(x+y{)}^2>x^2+y^2$.

Розв’язання

1. Розглянемо доданок $(2x-3{)}^2$. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то мінімальне значення цього виразу — це $0$, що досягається при $2x-3=0$.

2. Знайдемо значення $x$ з рівняння $2x-3=0$: $2x=3\Rightarrow x=1,5$.

Розв’язання

1. Аналізуємо вираз $1-(2x-3{)}^2$. Він буде найбільшим, якщо віднімається найменше можливе значення квадрата.

2. Найменше значення квадрата $(2x-3{)}^2$ дорівнює $0$, що стається при $2x-3=0$.

3. Розв'язуємо рівняння: $2x=3\Rightarrow x=1,5$.

Розв’язання

1. Перепишемо умову $a+b=2d$ як $\frac{a+b}{2}=d$. Це означає, що точка $D(d)$ є серединою відрізка $AB$, тобто знаходиться між точками $A$ і $B$.

2. Перепишемо умову $b+d=2c$ як $\frac{b+d}{2}=c$. Це означає, що точка $C(c)$ є серединою відрізка $BD$, тобто знаходиться між точками $B$ і $D$.

3. Оскільки $a>b$, порядок точок на прямій зліва направо такий: $A,D,B$. Точка $C$ лежить між $B$ і $D$, тому вона знаходиться правіше $D$, але ліворуч від $B$.

4. Отже, повний порядок точок зліва направо (від меншого до більшого значення): $A<D<C<B$.

Розв’язання

1. З умови $a<b$ випливає, що різниця $b-a$ додатна.

2. Перетворимо рівність $2a=b+c$: $c=2a-b=a-(b-a)$. Оскільки $b-a>0$, то $c<a$.

3. З умови $2d=a+b$ маємо $d=\frac{a+b}{2}$. Це середнє між $a$ та $b$, тому $a<d<b$.

4. Порівняємо $c$ та $d$: $c-d=(2a-b)-\frac{a+b}{2}=\frac{3a-3b}{2}=\frac{3}{2}(a-b)$. Оскільки $a<b$, то $a-b<0$, отже $c<d$.

5. Отже, порядок чисел: $c<a<d<b$.

Розв’язання

1. а) Перенесемо $b$ і $7,8$ вліво: $a-b=3,5-7,8=-4,3$. Оскільки різниця від'ємна, то $a<b$.

2. б) Перенесемо $b$ і $4,5$ вліво: $a-b=-2,3+4,5=2,2$. Різниця додатна, отже $a>b$.

3. в) Перенесемо $a$ і $7,3$ вліво: $b-a=8,5-7,3=1,2$, звідки $a<b$. Або: $-a+b=-1,2\Rightarrow b-a=1,2>0\Rightarrow b>a$.

4. г) Перенесемо $b$ і $3,5$ вліво: $2a-b=-3,5-3,5=-7$. Тут одне число стоїть з коефіцієнтом 2, тому порівняння не однозначне без додатних обмежень, але зазвичай у таких задачах шукають відношення $a$ та $b$. Перепишемо як $2a=b-7$. Якщо припустити рівність коефіцієнтів (що тут неможливо), то порівняємо значення. Але краще: $b=2a+7$. Оскільки $7>0$, то $b>2a$. Це ще не означає, що $b>a$ без знання знаку $a$. Однак, якщо взяти $a=0$, то $b=7$ ($b>a$). Якщо $a=-10$, то $b=-13$ ($a>b$). У шкільних підручниках часто очікують порівняння за модулем або при додатних $a,b$. Але якщо розглядати загальний випадок, відповідь залежить від значень. Проте, перевіримо ще раз умову: можливо, треба просто виразити $b$ через $a$: $b=2a+7$. Якщо $a>-3,5$, то $b>a$. Якщо $a<-3,5$, то $b<a$.

Розв’язання

1. а) З рівності $2,5x=3,2y$ маємо $\frac{x}{y}=\frac{3,2}{2,5}>1$, отже $x>y$.

2. б) З рівності $\frac{5,3}{x}=\frac{7,1}{y}$ маємо $\frac{x}{y}=\frac{5,3}{7,1}<1$, отже $x<y$.

3. в) З рівності $\frac{x}{3,8}=\frac{y}{2,6}$ маємо $\frac{x}{y}=\frac{3,8}{2,6}>1$, отже $x>y$.

4. г) З рівності $2x-3y=5,4$ маємо $2x=3y+5,4$. Оскільки $5,4>0$, то $2x>3y$. Порівняємо $x$ і $y$: $x=1,5y+2,7$. Оскільки $y>0$, то $1,5y>y$, отже $x>y$.

Розв’язання

1. а) Розглянемо різницю $(a^2+36)-12a$. Це квадратний тричлен, який можна перетворити на повний квадрат: $a^2-12a+36=(a-6{)}^2$. Оскільки будь-який квадрат дійсного числа невід'ємний, то $(a-6{)}^2\ge 0$, отже, $a^2+36\ge 12a$ (рівність при $a=6$).

2. б) Спростимо різницю $4(x+1)-(x+2{)}^2$. Розкриємо дужки: $4x+4-(x^2+4x+4)=4x+4-x^2-4x-4=-x^2$. Оскільки $-x^2\le 0$, то $(x+2{)}^2\ge 4(x+1)$ (рівність при $x=0$).

3. в) Спростимо різницю $(b^2+2)-(2b+1)=b^2-2b+1$. Це повний квадрат: $(b-1{)}^2\ge 0$, отже, $b^2+2\ge 2b+1$ (рівність при $b=1$).

4. г) Спростимо різницю $(y-3{)}^2-(y-2)(y-4)$. Розкриємо дужки: $(y^2-6y+9)-(y^2-6y+8)=y^2-6y+9-y^2+6y-8=1$. Оскільки $1>0$, то $(y-3{)}^2>(y-2)(y-4)$ для будь-якого $y$.

Розв’язання

1. а) Оскільки $a$ і $b$ — невід'ємні числа, то функція $y=x^2$ зростає на проміжку $[0;\infty )$. Тому якщо $a^2\ge b^2$, то обов'язково $a\ge b$.

2. б) З умови $b-a=a-b$ маємо $2b=2a$, звідки $b=a$. Отже, числа рівні: $a=b$.

3. в) Перепишемо рівняння як $a-b=a+b$. Віднімемо $a$ від обох частин: $-b=b$, звідки $2b=0$, отже $b=0$. Підставимо $b=0$ у вираз для порівняння: $a\ge 0$ (за умовою). Отже, $a\ge b$.

Розв’язання

1. Запишемо умову: $7Z>9O$, де $Z$ — ціна зошита, $O$ — ціна олівця. Поділимо обидві частини нерівності на 7: $Z>\frac{9}{7}O$.

2. Помножимо отриману нерівність на 12 (щоб дізнатися вартість 12 зошитів): $12Z>12\cdot \frac{9}{7}O=\frac{108}{7}O$.

3. Порівняємо $\frac{108}{7}$ з 15. Запишемо 15 як дріб: $15=\frac{105}{7}$. Оскільки $108>105$, то $\frac{108}{7}>15$.

4. Отже, $12Z>15O$. Це означає, що вартість 12 зошитів більша за вартість 15 олівців.

Розв’язання

1. Нехай $x$ — ціна одного зошита, $y$ — ціна одного олівця. За умовою маємо: $7x>9y$.

2. Щоб порівняти 12 зошитів ($12x$) та 15 олівців ($15y$), помножимо початкову нерівність на число $6$: $6\cdot (7x)>6\cdot (9y)$.

3. Отримуємо: $42x>54y$. Це не допомагає напряму. Спробуємо інший підхід: поділимо початкову нерівність на дріб $\frac{7}{12}$, щоб отримати коефіцієнт 12 перед $x$, або скористаємося пропорцією.

4. З умови $7x>9y$ випливає, що $\frac{x}{y}>\frac{9}{7}$. Тепер порівняємо $\frac{12x}{y}$ та $\frac{15y}{y}=15$. Оскільки $\frac{x}{y}>1,28$, то $12\cdot \frac{x}{y}>12\cdot 1,28=15,36$.

Розв’язання

1. а) $x^2+8x+15=0$. Шукаємо числа, які дають $+15$ і $+8$: це $3$ і $5$. Отже, $(x+3)(x+5)=0$, звідки $x_1=-3,x_2=-5$.

2. б) $x^2+10x+21=0$. Числа для $+21$ і $+10$: це $3$ і $7$. $(x+3)(x+7)=0$, звідки $x_1=-3,x_2=-7$.

3. в) $y^2-7y-18=0$. Числа для $-18$ і $-7$: це $-9$ і $+2$. $(y-9)(y+2)=0$, звідки $y_1=9,y_2=-2$.

4. г) $z^2-9z+14=0$. Числа для $+14$ і $-9$: це $-7$ і $-2$. $(z-7)(z-2)=0$, звідки $z_1=7,z_2=2$.

Розв’язання

1. а) Розкриваємо дужки: $c^2+2c-5c-10$. Додаємо $3c+10$: $(c^2-3c-10)+(3c+10)=c^2$.

2. б) Спочатку помічаємо, що другий множник можна переписати як $c^3+2c$. Тоді вираз стає $(c^3-2c)(c^3+2c)+4c^2$. Це різниця квадратів: $(c^3{)}^2-(2c{)}^2=c^6-4c^2$. Додаємо $4c^2$: $c^6-4c^2+4c^2=c^6$.

Розв’язання

1. Пункт а): Приводимо дроби до спільного знаменника $4a$: $\frac{a^2}{4a}+\frac{36}{4a}=\frac{a^2+36}{4a}$. Вираз не скорочується далі.

2. Пункт б): Оскільки $x^2$ у знаменнику, вираз можна записати як $\frac{7x^2-9}{x^2}$ або залишити в початковому вигляді, якщо це не дріб. Якщо це віднімання цілого числа і дробу: $7-\frac{9}{x^2}=\frac{7x^2-9}{x^2}$.

3. Пункт в): Розкриваємо квадрат $(3-x{)}^2=9-6x+x^2$. Додаємо 60: $x^2-6x+9+60=x^2-6x+69$.

4. Пункт г): Розкриваємо квадрат $(15+x{)}^2=225+30x+x^2$. Віднімаємо 240: $x^2+30x+225-240=x^2+30x-15$.