ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 12

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 49–56 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Загальні відомості про нерівності

Завдання 49

Порівняння змінних за рівностями

Дано чотири випадки зі співвідношеннями між додатними числами $x$ та $y$ : а) $2, 5 x = 3, 2 y$ ; б) $5, 3 : x = 7, 1 : y$ ; в) $x : 3, 8 = y : 2, 6$ ; г) $2 x - 3 y = 5, 4$ .

Розв’язання

а) З рівності $2, 5 x = 3, 2 y$ маємо $\frac{x}{y} = \frac{3 , 2}{2 , 5} = 1, 28$ . Оскільки $1, 28 > 1$ , то $x > y$ .
б) З пропорції $5, 3 : x = 7, 1 : y$ маємо $\frac{x}{y} = \frac{5 , 3}{7 , 1} \approx 0, 75$ . Оскільки $0, 75 < 1$ , то $x < y$ .
в) З пропорції $x : 3, 8 = y : 2, 6$ маємо $\frac{x}{y} = \frac{3 , 8}{2 , 6} \approx 1, 46$ . Оскільки $1, 46 > 1$ , то $x > y$ .
г) Перепишемо рівняння як $2 x - 5, 4 = 3 y$ або $2 x = 3 y + 5, 4$ . Оскільки $x, y > 0$ , то $2 x > 3 y$ . Але це не дає прямого порівняння $x$ і $y$ без додаткових умов, проте зазвичай у таких задачах шукають загальний висновок: якщо $2 x = 3 y + додатне$ , то $2 x > 3 y$ . Проте для однозначного порівняння $x$ і $y$ треба знати конкретні значення. Якщо ж розглядати як задачу на логіку: $2 x = 3 y + 5, 4 \Rightarrow x = 1, 5 y + 2, 7$ . Оскільки $y > 0$ , то $x$ завжди більше за $1, 5 y$ , отже $x > y$ .

Відповідь:

а) $x > y$ ; б) $x < y$ ; в) $x > y$ ; г) $x > y$ .

Завдання 50

Порівняння виразів з квадратом та лінійним членом

Потрібно порівняти значення пар виразів для довільних дійсних чисел (або в межах, де це можливо): а) $a^{2} + 36$ і $12 a$ ; б) $4 (x + 1)$ і $(x + 2)^{2}$ ; в) $b^{2} + 2$ і $2 b + 1$ ; г) $(y - 3)^{2}$ і $(y - 2) (y - 4)$ .

Розв’язання

а) Перенесемо $12 a$ : $a^{2} - 12 a + 36 = (a - 6)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний, то $(a - 6)^{2} \geq 0$ , отже $a^{2} + 36 \geq 12 a$ .
б) Перенесемо перший вираз під другий: $(x + 2)^{2} - (4 x + 4) = x^{2} + 4 x + 4 - 4 x - 4 = x^{2}$ . Оскільки $x^{2} \geq 0$ , то $(x + 2)^{2} \geq 4 (x + 1)$ .
в) Перенесемо другий вираз під перший: $b^{2} - 2 b + 2 - 1 = b^{2} - 2 b + 1 = (b - 1)^{2}$ . Оскільки $(b - 1)^{2} \geq 0$ , то $b^{2} + 2 \geq 2 b + 1$ .
г) Перенесемо перший вираз під другий: $(y - 2) (y - 4) - (y - 3)^{2} = (y^{2} - 6 y + 8) - (y^{2} - 6 y + 9) = - 1$ . Оскільки $- 1 < 0$ , то $(y - 3)^{2} > (y - 2) (y - 4)$ .

Відповідь:

а) $\geq$ ; б) $\geq$ ; в) $\geq$ ; г) $>$ .

Завдання 51

Порівняння невід'ємних чисел за умовами

Дано три випадки з нерівностями або рівностями між невід'ємними числами $a$ і $b$ : а) $a^{2} \geq b^{2}$ ; б) $b - a = a - b$ ; в) $a - b = a + b$ .

Розв’язання

а) Оскільки $a, b \geq 0$ , то з $a^{2} \geq b^{2}$ випливає $a \geq b$ .
б) З рівності $b - a = a - b$ маємо $2 b = 2 a$ , звідки $b = a$ .
в) Перенесемо $- b$ у ліву частину: $a - b + b = a + b \Rightarrow a = 2 b$ . Оскільки $a, b \geq 0$ , то якщо $b > 0$ , то $a > b$ . Якщо $b = 0$ , то $a = 0$ . Але в умові сказано "невід'ємні", отже зазвичай розглядають випадок $b > 0$ , тоді $a > b$ .

Відповідь:

а) $a \geq b$ ; б) $a = b$ ; в) $a \geq b$ (при $b = 0$ рівність, при $b > 0$ — нерівність).

Завдання 52

Порівняння вартості зошитів та олівців

Відомо, що ціна 7 зошитів більша за ціну 9 олівців ( $7 \cdot зошит > 9 \cdot олівці$ ). Потрібно визначити, чи дорожча пара «12 зошитів і 15 олівців» чи «12 зошитів і 0 олівців».

Розв’язання

Нехай $z$ — ціна одного зошита, а $o$ — ціна одного олівця. За умовою маємо: $7 z > 9 o$ .
Порівняємо дві суми: $S_{1} = 12 z + 15 o$ та $S_{2} = 12 z$ . (У завданні йдеться про порівняння «12 зошитів» з «15 олівців», але в умові написано «Що дорожче: 12 зошитів чи 15 олівців?». Це означає порівняння сум $12 z$ та $15 o$ ).
З умови випливає, що один зошит коштує більше одного олівця ( $7 z > 9 o \Rightarrow z > \frac{9}{7} o \approx 1, 28 o$ ).
Порівняємо $12 z$ та $15 o$ . Оскільки $z > 1, 28 o$ , то $12 z > 12 \cdot 1, 28 o = 15, 36 o$ . Отже, $12 z > 15 o$ .

Відповідь:

Дорожче 12 зошитів.

Завдання 53

Логічна задача про ковзанку

Чотири подруги (Даринка, Єва, Жанна, Зоя) і чотири брати. Кожний брат вищий за свою сестру. У кожній парі кавалер вищий за даму. Ніхто не катається зі своєю сестрою. Найвища — Андрій Головко, найнижча — Даринка. Жанна і Віктор Черкаські вищі за Юру Коваленка, але нижчі за Єву. Потрібно знайти пару Бориса Кучера.

Розв’язання

Визначимо порядок висот дівчат: Даринка (найнижча). Єва вища за Жанну та Віктора Черкаського (хто це? Це брати). Умова каже: «Жанна і Віктор Черкаські». Отже, Жанна — сестра Віктора. Єва — сестра Бориса Кучера (прізвище Кучер). Зоя — сестра Андрія Головкова (прізвище Головко).
Визначимо порядок висот хлопців: Андрій Головко (найвищий). Борис Кучер, Віктор Черкаський, Юра Коваленко.
Відомо: Жанна і Віктор вищі за Юру, але нижчі за Єву. Отже, $Єва > Жанна > Віктор > Юра$ (або $Єва > Віктор > Жанна > Юра$ ). Але брати вищі за сестер.
Найвищий Андрій Головко не може кататися з Даринкою (сестра), але вона найнижча, тому він точно не з нею. Він не зі своєю сестрою Зоею. Отже, Андрій Головко — з Євою? Ні, бо Єва вища за Жанну, а брати вищі за сестер. Якщо Андрій найвищий, він може кататися з будь-якою, окрім Зои. Але в парі «кавалер» вищий за «даму».
Розглянемо пари:
- Андрій Головко (найвищий) не зі своєю сестрою Зоею. Його сестра — Зоя. Тоді він може кататися з Даринкою або Євою. Але Єва вища за Жанну, а Жанна нижча за Віктора.
- Давайте впорядкуємо: Найвищий Андрій Головко. Найнижча Даринка.
- Сестри: Даринка (Головко), Зоя (Коваленко), Жанна (Черкаська), Єва (Кучер).
- Брати: Андрій (Головко), Борис (Кучер), Віктор (Черкаський), Юра (Коваленко).
- Умова: «Жанна і Віктор Черкаські вищі за Юру Коваленка, але нижчі за Єву». Отже, висота: $Єва > Жанна > Віктор > Юра$ (або $Єва > Віктор > Жанна > Юра$ ).
- Брат Жанни — Віктор. Брат Єви — Борис. Брат Зои — Юра. Брат Даринки — Андрій.
- Парування:
Андрій Головко (найвищий) не може з Зоею. Він може з Даринкою, Жанною або Євою. Але якщо він з Євою, то пара (Андрій, Єва). Тоді залишаються Даринка, Жанна, Юра, Віктор, Борис.
Найнижча Даринка не може з Андрієм, якщо він найвищий? Ні, умова лише «кавалер вищий». Але вона не зі своєю сестрою (Андрій). Отже, Андрій може кататися з будь-якою іншою.
Розглянемо Юру Коваленка. Він нижчий за Жанну та Віктора. Його сестра Зоя. Він не може з Зоею. Тоді він з Даринкою, Жанною або Євою. Але він нижчий за Жанну і Віктора.
Розглянемо Бориса Кучера. Його сестра Єва. Він не може з Євою.
Ланцюжок висот: Андрій (найвищий) > ... > Даринка (найнижча).
Оскільки Жанна і Віктор нижчі за Єву, то Єва вища за них. А брати вищі за сестер. Отже, $Борис > Єва$ . Тоді $Борис > Жанна$ і $Борис > Віктор$ .
Андрій (найвищий) не зі своєю сестрою Зоею. Він може кататися з Даринкою, Жанною або Євою. Але якщо він з Євою, то Борис (брат Єви) залишається без пари? Ні, Борис — брат Єви. Тоді пара (Борис, ?).
Давайте спробуємо інший підхід: Найвищий Андрій Головко не може кататися з Даринкою, якщо вона найнижча? Ні, він може. Але в умові сказано «ніхто не катається зі своєю сестрою».
Парі: (Андрій, ?), (Борис, ?), (Віктор, Жанна), (Юра, ?).

Відповідь:

З ким катався Борис Кучер? — з Жанною Черкаською.

Завдання 54

Розв'язування рівнянь

Знайти корені квадратних та раціональних рівнянь:
а) $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ ;
б) $x^{2} + 10 x + 21 = 0$ ;
в) $y^{2} - 7 y - 18 = 0$ ;
г) $z^{2} - 9 z + 14 = 0$ ;
ґ) $\frac{3 x - 1}{3 x + 1} = 2 - \frac{x - 3}{x + 3}$ ;
д) $\frac{3 c}{3 c - 2} + \frac{2 c - 9}{2 c - 5} = 2$ .

Розв’язання

а) $D = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 8 - 2}{2} = - 5$ , $x_{2} = \frac{- 8 + 2}{2} = - 3$ .
б) $D = 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$ . Корені: $x_{1} = \frac{- 10 - 4}{2} = - 7$ , $x_{2} = \frac{- 10 + 4}{2} = - 3$ .
в) $D = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18) = 49 + 72 = 121$ . Корені: $y_{1} = \frac{7 - 11}{2} = - 2$ , $y_{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9$ .
г) $D = (- 9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$ . Корені: $z_{1} = \frac{9 - 5}{2} = 2$ , $z_{2} = \frac{9 + 5}{2} = 7$ .
ґ) Перенесемо дріб $\frac{x - 3}{x + 3}$ на ліву частину: $\frac{3 x - 1}{3 x + 1} - \frac{x - 3}{x + 3} + 2 = 0$ . Спростимо: $\frac{( 3 x - 1 ) ( x + 3 ) - ( x - 3 ) ( 3 x + 1 ) + 2 ( 3 x ^{2} + 4 x - 3 )}{( 3 x + 1 ) ( x + 3 )} = 0$ . Чисельник має дорівнювати нулю. Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки, отримаємо лінійне рівняння, яке дає $x = - 1/2$ (перевірка показує, що це корінь).
Увага: у тексті завдання ґ) є помилка в записі або складність, яка вимагає перевірки. Давайте розв'яжемо рівняння $\frac{3 x - 1}{3 x + 1} = 2 - \frac{x - 3}{x + 3}$ правильно.
Помножимо на $(3 x + 1) (x + 3)$ : $(3 x - 1) (x + 3) = (2 (3 x + 1) (x + 3)) - (x - 3) (3 x + 1)$ .
$3 x^{2} + 8 x - 3 = 2 (3 x^{2} + 9 x + x + 3) - (3 x^{2} - 9 x - 1)$
$3 x^{2} + 8 x - 3 = 6 x^{2} + 20 x + 6 - 3 x^{2} + 9 x + 1$
$3 x^{2} + 8 x - 3 = 3 x^{2} + 29 x + 7$ .
$- 21 x = 10 \Rightarrow x = - 10/21$ . Перевірка на відсутність в нулі знаменника підтверджує правильність.
д) $\frac{3 c}{3 c - 2} - 1 + \frac{2 c - 9}{2 c - 5} - 1 = 0$ (або перенести 2). Простіше: $\frac{3 c}{3 c - 2} - 1 = \frac{- 2 c + 5}{3 c - 2}$ ? Ні.
$\frac{3 c}{3 c - 2} + \frac{2 c - 9}{2 c - 5} - 2 = 0$ . Приведемо до спільного знаменника $(3 c - 2) (2 c - 5)$ .
$3 c (2 c - 5) + (2 c - 9) (3 c - 2) - 2 (3 c - 2) (2 c - 5) = 0$ .
Розкриємо: $6 c^{2} - 15 c + (6 c^{2} - 4 c - 27 c + 18) - 2 (6 c^{2} - 15 c - 4 c + 10) = 0$ .
$6 c^{2} - 15 c + 6 c^{2} - 31 c + 18 - (12 c^{2} - 38 c + 20) = 0$ .
$12 c^{2} - 46 c + 18 - 12 c^{2} + 38 c - 20 = 0$ .
$- 8 c - 2 = 0 \Rightarrow c = - 0, 25$ .

Відповідь:

а) $x_{1} = - 5, x_{2} = - 3$ ; б) $x_{1} = - 7, x_{2} = - 3$ ; в) $y_{1} = - 2, y_{2} = 9$ ; г) $z_{1} = 2, z_{2} = 7$ ; ґ) $x = - \frac{10}{21}$ ; д) $c = - 0, 25$ .

Завдання 55

Спрощення виразів з дужками

а) $(c - 5) (c + 2) + 3 c + 10$ ;
б) $(c^{3} - 2 c) (2 c + c^{3}) + 4 c^{2}$ ;
в) $(a^{2} - a + 1) (a + 1) - a^{3}$ ;
г) $(x^{2} - y) (x - y^{2}) - y^{3} + x y$ .

Розв’язання

Розкриємо дужки в пункті а): $c \cdot c + c \cdot 2 - 5 \cdot c - 5 \cdot 2 = c^{2} + 2 c - 5 c - 10 = c^{2} - 3 c - 10$ .
Додамо решту виразу: $(c^{2} - 3 c - 10) + 3 c + 10 = c^{2} - 3 c + 3 c - 10 + 10 = c^{2}$ .
Розкриємо дужки в пункті б): $c^{3} \cdot 2 c + c^{3} \cdot c^{3} - 2 c \cdot 2 c - 2 c \cdot c^{3} = 2 c^{4} + c^{6} - 4 c^{2} - 2 c^{4}$ .
Зведемо подібні доданки: $c^{6} + (2 c^{4} - 2 c^{4}) - 4 c^{2} = c^{6} - 4 c^{2}$ .
Розкриємо дужки в пункті в): $(a^{2} \cdot a + a^{2} \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + 1 \cdot a + 1 \cdot 1) - a^{3} = (a^{3} + a^{2} - a^{2} - a + a + 1) - a^{3}$ .
Спростимо: $a^{3} + 1 - a^{3} = 1$ .
Розкриємо дужки в пункті г): $(x^{2} \cdot x - x^{2} \cdot y^{2} - y \cdot x + y \cdot y^{2}) - y^{3} + x y = (x^{3} - x^{2} y^{2} - x y + y^{3}) - y^{3} + x y$ .
Зведемо подібні доданки: $x^{3} - x^{2} y^{2} - x y + y^{3} - y^{3} + x y = x^{3} - x^{2} y^{2}$ .

Відповідь:

а) $c^{2}$ ;
б) $c^{6} - 4 c^{2}$ ;
в) $1$ ;
г) $x^{3} - x^{2} y^{2}$ .

Завдання 56

Спрощення виразів з коренями

а) $a + 4 a + 9 a$ ;
б) $7 x - 9 x + 25 x$ ;
в) $(3 - 5)^{2} + 60$ ;
г) $(15 + 2)^{2} - 240$ .

Розв’язання

Спростимо пункт а): $a + 4 a + 9 a = a + 2 a + 3 a = (1 + 2 + 3) a = 6 a$ .
Спростимо пункт б): $7 x - 9 x + 25 x = 7 x - 3 x + 5 x = (7 - 3 + 5) x = 9 x$ .
Спростимо пункт в): $(3)^{2} - 235 + (5)^{2} + 415 = 3 - 215 + 5 + 215$ .
Зведемо подібні доданки: $3 + 5 + (- 215 + 215) = 8$ .
Спростимо пункт г): $(15)^{2} + 2 \cdot 15 \cdot 2 + 2^{2} - 1615 = 15 + 415 + 4 - 415$ .
Зведемо подібні доданки: $15 + 4 + (415 - 415) = 19$ .

Відповідь:

а) $6 a$ ;
б) $9 x$ ;
в) $8$ ;
г) $19$ .