ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 11

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 33–48 · 16 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Загальні відомості про нерівності

Завдання 33

Порівняння дробу та десяткових чисел

Розташуй у порядку зростання числа $\frac{1}{9}$ ; $0, 1$ ; $0, 11$ .

Розв’язання

Перетворимо дріб $\frac{1}{9}$ на десятковий: $1 \div 9 = 0, 111 \dots$ , тобто $\frac{1}{9} > 0, 11$ .
Порівняємо числа: $0, 1 < 0, 11 < 0, 111 \dots$ (тобто $0, 1 < 0, 11 < \frac{1}{9}$ ).

Відповідь:

Правильна відповідь — Г ( $0, 1; \frac{1}{9}; 0, 11$ ).

Завдання 34

Аналіз діапазону температур

Вночі температура була не нижче $- 5^{\circ} C$ , вдень — не вище $1 2^{\circ} C$ . Чи могла різниця між максимальною і мінімальною температурою за добу бути більшою за $1 8^{\circ} C$ ? Запиши відповідні числові нерівності та зроби висновок.

Розв’язання

Позначимо мінімальну температуру як $t_{m i n} \geq - 5$ і максимальну як $t_{m a x} \leq 12$ .
Найбільша можлива різниця досягається, коли $t_{m i n}$ найменше ( $- 5$ ) і $t_{m a x}$ найбільше ( $12$ ).
Обчислимо максимальну різницю: $12 - (- 5) = 12 + 5 = 17$ .
Порівняємо отримане значення з $18$ : оскільки $17 < 18$ , то різниця не могла бути більшою за $1 8^{\circ} C$ .

Відповідь:

Ні, різниця не могла бути більшою за $1 8^{\circ} C$ (максимальна можлива різниця дорівнює $1 7^{\circ} C$ ).

Завдання 35

Аналіз діапазону температур (ранок-день)

Вранці температура була не нижче $- 3^{\circ} C$ , вдень — не вище $1 0^{\circ} C$ . Чи могла різниця температур за добу бути більшою за $1 4^{\circ} C$ ? Запиши відповідні числові нерівності і зроби висновок.

Розв’язання

Позначимо мінімальну температуру як $t_{m i n} \geq - 3$ і максимальну як $t_{m a x} \leq 10$ .
Знайдемо максимально можливу різницю: $10 - (- 3) = 10 + 3 = 13$ .
Порівняємо отримане значення з $14$ : оскільки $13 < 14$ , то різниця не могла бути більшою за $1 4^{\circ} C$ .

Відповідь:

Ні, різниця не могла бути більшою за $1 4^{\circ} C$ (максимальна можлива різниця дорівнює $1 3^{\circ} C$ ).

Завдання 36

Порівняння виразів за значенням змінної

Дано вирази $A = 5 m + 1$ та $B = 19 - 3 m$ . Потрібно знайти значення $A$ і $B$ та порівняти їх для випадків: а) $m = 2$ ; б) $m = 7$ ; в) $m = - \frac{1}{2}$ ; г) $m = 1 + 3$ .

Розв’язання

а) При $m = 2$ : $A = 5 \cdot 2 + 1 = 11$ , $B = 19 - 3 \cdot 2 = 13$ . Оскільки $11 < 13$ , то $A < B$ .
б) При $m = 7$ : $7 \approx 2, 65$ . $A = 57 + 1 \approx 14, 25$ , $B = 19 - 37 \approx 10, 35$ . Отже, $A > B$ .
в) При $m = - \frac{1}{2}$ : $A = 5 (- \frac{1}{2}) + 1 = - 2, 5$ , $B = 19 - 3 (- \frac{1}{2}) = 20, 5$ . Отже, $A < B$ .
г) При $m = 1 + 3$ : $A = 5 (1 + 3) + 1 = 6 + 53 \approx 14, 66$ , $B = 19 - 3 (1 + 3) = 16 - 33 \approx 10, 8$ . Отже, $A > B$ .

Відповідь:

а) $A < B$ ; б) $A > B$ ; в) $A < B$ ; г) $A > B$ .

Завдання 37

Порівняння значень функцій

Дано функції $y_{1} = 12 + 45 x$ та $y_{2} = \frac{12}{x}$ . Потрібно знайти значення функцій і порівняти їх для випадків: а) $x = \frac{3}{5}$ ; б) $x = - \frac{1}{2}$ ; в) $x = - \frac{2}{3}$ ; г) $x = \frac{2}{5}$ .

Розв’язання

а) При $x = \frac{3}{5}$ : $y_{1} = 12 + 45 \cdot \frac{3}{5} = 12 + 27 = 39$ , $y_{2} = \frac{12}{0 , 6} = 20$ . Оскільки $39 > 20$ , то $y_{1} > y_{2}$ .
б) При $x = - \frac{1}{2}$ : $y_{1} = 12 + 45 (- \frac{1}{2}) = - 10, 5$ , $y_{2} = \frac{12}{- 0 , 5} = - 24$ . Оскільки $- 10, 5 > - 24$ , то $y_{1} > y_{2}$ .
в) При $x = - \frac{2}{3}$ : $y_{1} = 12 + 45 (- \frac{2}{3}) = - 18$ , $y_{2} = \frac{12}{- 2/3} = - 18$ . Отже, $y_{1} = y_{2}$ .
г) При $x = \frac{2}{5}$ : $y_{1} = 12 + 45 \cdot \frac{2}{5} = 24$ , $y_{2} = \frac{12}{0 , 4} = 30$ . Оскільки $24 < 30$ , то $y_{1} < y_{2}$ .

Відповідь:

а) $y_{1} > y_{2}$ ; б) $y_{1} > y_{2}$ ; в) $y_{1} = y_{2}$ ; г) $y_{1} < y_{2}$ .

Завдання 38

Доведення нерівності з степенями

Потрібно довести, що сума двох чисел $1 0^{11}$ та $- 1 0^{10}$ більша за суму чисел $1 0^{10}$ та $1 0^{9}$ . Тобто треба перевірити правильність нерівності $1 0^{11} - 1 0^{10} > 1 0^{10} + 1 0^{9}$ .

Розв’язання

Перетворимо ліву частину: $1 0^{11} - 1 0^{10} = 10 \cdot 1 0^{10} - 1 \cdot 1 0^{10} = (10 - 1) \cdot 1 0^{10} = 9 \cdot 1 0^{10}$ .
Перетворимо праву частину: $1 0^{10} + 1 0^{9} = 10 \cdot 1 0^{9} + 1 \cdot 1 0^{9} = (10 + 1) \cdot 1 0^{9} = 11 \cdot 1 0^{9}$ .
Порівняємо $9 \cdot 1 0^{10}$ та $11 \cdot 1 0^{9}$ . Перепишемо друге число як $1, 1 \cdot 1 0^{10}$ . Оскільки $9 > 1, 1$ , то $9 \cdot 1 0^{10} > 1, 1 \cdot 1 0^{10}$ .

Відповідь:

Нерівність вірна, оскільки $9 \cdot 1 0^{10} > 11 \cdot 1 0^{9}$ .

Завдання 39

Порівняння великих степенів

Знайти, яка різниця більша і в скільки разів: $202 5^{2026} - 202 5^{2025}$ чи $202 5^{2025} - 202 5^{2024}$ .

Розв’язання

Перепишемо першу різницю, винесши $202 5^{2025}$ за дужки: $202 5^{2025} (2025 - 1) = 202 5^{2025} \cdot 2024$ .
Перепишемо другу різницю, винесши $202 5^{2024}$ за дужки: $202 5^{2024} (2025 - 1) = 202 5^{2024} \cdot 2024$ .
Порівнюємо отримані вирази: $202 5^{2025} \cdot 2024$ проти $202 5^{2024} \cdot 2024$ . Оскільки множник $2024$ однаковий, порівнюємо степені: $202 5^{2025}$ більше за $202 5^{2024}$ .

Відповідь:

Більша різниця — перша ( $202 5^{2026} - 202 5^{2025}$ ), вона більша за другу в $2025$ разів.

Завдання 40

Перевірка нерівностей для будь-якого c

Визначити, чи є правильними нерівності при всіх дійсних значеннях $c$ : а) $c^{2} + 3 > 0$ ; б) $(c + 2)^{2} > 0$ ; в) $(c - 1)^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

Для а): $c^{2} \geq 0$ для будь-якого $c$ , отже $c^{2} + 3 \geq 3 > 0$ . Нерівність завжди вірна.
Для б): $(c + 2)^{2} \geq 0$ . Ця величина дорівнює нулю, коли $c = - 2$ . Тому нерівність строго більша за нуль не виконується для всіх $c$ (наприклад, при $c = - 2$ ).
Для в): $(c - 1)^{2} \geq 0$ завжди вірно, оскільки квадрат будь-якого числа не менший за нуль.

Відповідь:

а) Так; б) Ні (не виконується при $c = - 2$ ); в) Так.

Завдання 41

Доведення нерівностей для будь-якого n

Довести, що при кожному значенні $n$ правильна нерівність: а) $n^{4} + 1 > 0$ ; б) $(n - 5)^{2} \geq 0$ ; в) $n^{2} - 2 n + 1 \geq 0$ .

Розв’язання

Для а): $n^{4} \geq 0$ для будь-якого $n$ , тому $n^{4} + 1 \geq 1 > 0$ . Нерівність вірна.
Для б): Вираз $(n - 5)^{2}$ є квадратом різниці двох чисел, тому він завжди невід'ємний: $(n - 5)^{2} \geq 0$ .
Для в): Перетворимо тричлен на повний квадрат: $n^{2} - 2 n + 1 = (n - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа $\geq 0$ , то $(n - 1)^{2} \geq 0$ .

Відповідь:

а) Доведено; б) Доведено; в) Доведено.

Завдання 42

Доведення нерівностей

Довести, що при кожному дійсному $a$ виконуються нерівності: а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $4 a^{2} - 4 a + 1 \geq 0$ ; в) $9 a^{2} + 2 > 6 a$ .

Розв’язання

а) Оскільки $(a - 3)^{2} \geq 0$ для будь-якого $a$ , то сума $(a - 3)^{2} + 2$ обов'язково більша за 2, отже, і більша за 0.
б) Вираз можна переписати як повний квадрат: $4 a^{2} - 4 a + 1 = (2 a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа $\geq 0$ , то $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ .
в) Перенесемо член $6 a$ у ліву частину: $9 a^{2} - 6 a + 2$ . Спрощуємо до повного квадрату: $(3 a - 1)^{2} + 1$ . Оскільки $(3 a - 1)^{2} \geq 0$ , то сума з 1 буде додатною, тобто $> 0$ .

Відповідь:

а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ ; в) $(3 a - 1)^{2} + 1 > 0$ .

Завдання 43

Порівняння квадратів та суми

Визначити, що більше: квадрат суми двох додатних чисел ( $(x + y)^{2}$ ) чи сума їх квадратів ( $x^{2} + y^{2}$ ).

Розв’язання

Квадрат суми двох чисел $x$ і $y$ дорівнює $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .
Сума квадратів цих чисел дорівнює $x^{2} + y^{2}$ .
Оскільки числа додатні, їх добуток $x y > 0$ , отже $2 x y > 0$ . Додавання додатного числа збільшує значення виразу.

Відповідь:

Квадрат суми двох додатних чисел більший за суму їх квадратів.

Завдання 44

Мінімум виразу з повним квадратом

Визначити умову, при якій вираз $1 + (2 x - 3)^{2}$ набуває найменшого значення.

Розв’язання

Найменше значення квадрата будь-якого числа — це 0. Це відбувається, коли число під знаком квадрата дорівнює нулю.
Прирівнюємо вираз у дужках до нуля: $2 x - 3 = 0$ .
Знаходимо $x$ : $2 x = 3 \Rightarrow x = 1, 5$ . При цьому значенні вираз дорівнює $1 + 0 = 1$ , що є мінімумом.

Відповідь:

Найменше значення вираз набуває при $x = 1, 5$ .

Завдання 45

Максимум виразу з квадратом

Знайти умову, при якій вираз $1 - (2 x - 3)^{2}$ набуває найбільшого значення.

Розв’язання

Розглянемо вираз як $1$ мінус деяке число $□$ , де $□ = (2 x - 3)^{2}$ .
Щоб результат віднімання був найбільшим, треба відняти найменше можливе значення квадрата.
Найменше значення квадрата $(2 x - 3)^{2}$ дорівнює $0$ , що відбувається тоді і тільки тоді, коли підстава дорівнює нулю: $2 x - 3 = 0$ .

Відповідь:

Вираз має найбільше значення при умові $2 x - 3 = 0$ (тобто $x = 1, 5$ ).

Завдання 46

Порівняння координат за зв'язками

Точки $A (a)$ , $B (b)$ , $C (c)$ і $D (d)$ розміщені на координатній прямій. Відомо, що $a > b$ , $a + b = 2 d$ та $b + d = 2 c$ . Визначити порядок точок.

Розв’язання

Оскільки $a > b$ , точка $A$ знаходиться праворуч від точки $B$ .
З умови $a + b = 2 d$ маємо $d = \frac{a + b}{2}$ , отже $b < d < a$ . Точка $D$ лежить між $B$ та $A$ .
З умови $b + d = 2 c$ маємо $c = \frac{b + d}{2}$ , отже $b < c < d$ . Точка $C$ лежить між $B$ та $D$ .
Об'єднавши нерівності: $b < c < d < a$ .

Відповідь:

Точки розміщені на координатній прямій у порядку зростання їхніх координат: $B, C, D, A$ (тобто $b < c < d < a$ ).

Завдання 47

Порівняння координат за іншими зв'язками

Точки $A (a)$ , $B (b)$ , $C (c)$ і $D (d)$ розміщені на координатній прямій. Відомо, що $a < b$ , $2 a = b + c$ та $2 d = a + b$ . Визначити порядок точок.

Розв’язання

Оскільки $a < b$ , точка $A$ знаходиться ліворуч від точки $B$ .
З умови $2 d = a + b$ маємо $d = \frac{a + b}{2}$ , отже $a < d < b$ . Точка $D$ лежить між $A$ та $B$ .
З умови $2 a = b + c$ маємо $c = 2 a - b$ . Оскільки $a < b$ , то $b - a > 0$ , отже $c = a - (b - a) < a$ . Точка $C$ лежить ліворуч від точки $A$ .
Отже, порядок точок на прямій: $C, A, D, B$ .

Відповідь:

Точки розміщені на координатній прямій у порядку зростання їхніх координат: $C, A, D, B$ (тобто $c < a < d < b$ ).

Завдання 48

Порівняння змінних

a

та

b

за рівностями

Яке з чисел $a$ чи $b$ більше, якщо: а) $a + 7, 8 = b + 3, 5$ ; б) $a - 4, 5 = b - 2, 3$ ; в) $8, 5 - a = 7, 3 - b$ ; г) $2 a + 3, 5 = b - 3, 5$ ?

Розв’язання

Пункт а): Перенесемо $b$ у ліву частину, а $a$ — у праву: $a - b = 3, 5 - 7, 8$ . Оскільки $3, 5 < 7, 8$ , то різниця від'ємна, значить $a < b$ .
Пункт б): Перенесемо $b$ у ліву частину: $a - b = 4, 5 - 2, 3$ . Оскільки $4, 5 > 2, 3$ , то різниця додатна, значить $a > b$ .
Пункт в): Перенесемо $b$ у ліву частину: $b - a = 7, 3 - 8, 5$ . Оскільки $7, 3 < 8, 5$ , то різниця від'ємна, значить $b < a$ (тобто $a > b$ ).
Пункт г): Перенесемо $b$ у ліву частину: $2 a - b = - 3, 5 - 3, 5 = - 7$ . Оскільки коефіцієнт при $a$ (це 2) більший за коефіцієнт при $b$ (це 1), і різниця від'ємна, то $a$ має бути значно меншим за $b$ , щоб компенсувати множник 2. Точніше: $2 a = b - 7$ . Якщо взяти $b = 0$ , то $a = - 3, 5$ . Отже, $a < b$ .

Відповідь:

а) $a < b$ ; б) $a > b$ ; в) $a > b$ ; г) $a < b$ .