ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 10

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 19–32 · 14 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Загальні відомості про нерівності

Завдання 19

Розміщення чисел за спаданням

Розставити числа у порядку спадання (від найбільшого до найменшого): $3, 1$ ; $π$ ; $10$ ; $2 + 2$ ; $5 - 3$ .

Розв’язання

Оцінимо числа: $5 - 3 \approx 5 - 1, 73 = 3, 27$ ; $2 + 2 \approx 2 + 1, 41 = 3, 41$ ; $10 \approx 3, 16$ ; $π \approx 3, 14$ ; $3, 1$ .
Порівняємо отримані значення: $3, 41 > 3, 27 > 3, 16 > 3, 14 > 3, 1$ .

Відповідь:

$2 + 2 > 5 - 3 > 10 > π > 3, 1$ .

Завдання 20

Гра на впорядкування чисел

Троє учнів записують числа, а четвертий має розмістити їх у порядку зростання. (Це завдання для роботи в парах або групах).

Розв’язання

Запишемо прикладний набір чисел: $10$ , $- 5$ , $0, 5$ .
Порівняємо їх: $- 5 < 0, 5 < 10$ .

Відповідь:

Приклад правильної відповіді для набору ${10, - 5, 0, 5}$ : $- 5; 0, 5; 10$ . (Учні самостійно обирають числа).

Завдання 21

Розміщення чисел за зростанням

Розставити числа у порядку зростання (від найменшого до найбільшого): $2$ ; $5$ ; $- 12$ ; $2 \frac{1}{2}$ ; $0$ ; $- π$ .

Розв’язання

Від'ємні числа: $- 12$ і $- π$ . Оскільки $∣ - 12∣ > ∣ - π ∣$ , то $- 12 < - π$ .
Ненегативні числа: $0 < 2 < 5 (\approx 2, 24) < 2, 5$ .
Об'єднаємо всі частини в одну послідовність.

Відповідь:

$- 12; - π; 0; 2; 5; 2 \frac{1}{2}$ .

Завдання 22

Порівняння чисел

Яке з чисел найбільше? $1, 5$ ; $1 \frac{29}{50}$ ; $\frac{π}{2}$ ; $10 : 2$ ; $7 \cdot 0, 5$ .

Розв’язання

Перетворимо мішані дроби та вирази на десяткові дробі: $1 \frac{29}{50} = 1, 58$ ; $10 : 2 \approx 3, 16 : 2 = 1, 58$ ; $7 \cdot 0, 5 \approx 2, 646 \cdot 0, 5 = 1, 323$ .
Порівняємо значення з мікрою: $1, 5 < 1, 58$ ; $\frac{π}{2} \approx \frac{3 , 14}{2} = 1, 57$ .
Порівняємо отримані числа: $1, 323 < 1, 5 < 1, 57 < 1, 58$ .

Відповідь:

Найбільше число — $1 \frac{29}{50}$ (або $10 : 2$ , оскільки вони майже рівні, але точніше $1 \frac{29}{50} = 1, 58$ ).

Завдання 23

Кількість дробів із знаменником 28

Визнач кількість усіх дробів зі знаменником 28, які більші за $\frac{4}{7}$ , але менші від $\frac{3}{4}$ .

Розв’язання

Приведемо межі до знаменника 28: $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28}$ ; $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28}$ .
Знайдемо цілі числа, які задовольняють умову: $16 < x < 21$ . Ці числа: $17, 18, 19, 20$ .
Порахуємо кількість таких чисел: всього їх 4 ( $\frac{17}{28}, \frac{18}{28}, \frac{19}{28}, \frac{20}{28}$ ).

Відповідь:

Чотири (Варіант Б).

Завдання 24

Порівняння виразів за значенням змінної

Порівняй значення виразів $A = 2 x + 3$ і $B = 3 x - 2$ , якщо: а) $x = - 1$ ; б) $x = 0$ ; в) $x = 5$ ; г) $x = 7$ .

Розв’язання

При $x = - 1$ : $A = 2 (- 1) + 3 = 1$ , $B = 3 (- 1) - 2 = - 5$ . Отже, $A > B$ .
При $x = 0$ : $A = 2 (0) + 3 = 3$ , $B = 3 (0) - 2 = - 2$ . Отже, $A > B$ .
При $x = 5$ : $A = 2 (5) + 3 = 13$ , $B = 3 (5) - 2 = 13$ . Отже, $A = B$ .
При $x = 7$ : $A = 2 (7) + 3 = 17$ , $B = 3 (7) - 2 = 19$ . Отже, $A < B$ .

Відповідь:

а) $A > B$ ; б) $A > B$ ; в) $A = B$ ; г) $A < B$ .

Завдання 25

Порівняння значень лінійної функції

Дано функцію $y = 2 x - 1$ . Потрібно порівняти значення функції при різних парах аргументів:
а) $x = 1$ і $x = 2$ ;
б) $x = - 1$ і $x = - 2$ ;
в) $x = 0, 1$ і $x = 0, 2$ .

Розв’язання

а) Підставимо $x = 1$ : $y_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ . Підставимо $x = 2$ : $y_{2} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Оскільки $1 < 3$ , то значення при $x = 1$ менше за значення при $x = 2$ .
б) Підставимо $x = - 1$ : $y_{3} = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 3$ . Підставимо $x = - 2$ : $y_{4} = 2 \cdot (- 2) - 1 = - 5$ . Оскільки $- 3 > - 5$ , то значення при $x = - 1$ більше за значення при $x = - 2$ .
в) Підставимо $x = 0, 1$ : $y_{5} = 2 \cdot 0, 1 - 1 = 0, 2 - 1 = - 0, 8$ . Підставимо $x = 0, 2$ : $y_{6} = 2 \cdot 0, 2 - 1 = 0, 4 - 1 = - 0, 6$ . Оскільки $- 0, 8 < - 0, 6$ , то значення при $x = 0, 1$ менше за значення при $x = 0, 2$ .

Відповідь:

а) значення зростають ( $y_{1} < y_{2}$ ); б) значення спадають ( $y_{3} > y_{4}$ ); в) значення зростають ( $y_{5} < y_{6}$ ).

Завдання 26

Порівняння значень квадратичної функції

Дано функцію $y = x^{2}$ . Потрібно порівняти значення функції при різних парах аргументів:
а) $x = - 20$ і $x = 20$ ;
б) $x = - 2$ і $x = - 1$ ;
в) $x = - 8$ і $x = 0$ .

Розв’язання

а) При $x = - 20$ : $y_{1} = (- 20)^{2} = 400$ . При $x = 20$ : $y_{2} = 2 0^{2} = 400$ . Отже, $y_{1} = y_{2}$ .
б) При $x = - 2$ : $y_{3} = (- 2)^{2} = 4$ . При $x = - 1$ : $y_{4} = (- 1)^{2} = 1$ . Оскільки $4 > 1$ , значення при $x = - 2$ більше за значення при $x = - 1$ .
в) При $x = - 8$ : $y_{5} = (- 8)^{2} = 64$ . При $x = 0$ : $y_{6} = 0^{2} = 0$ . Оскільки $64 > 0$ , значення при $x = - 8$ більше за значення при $x = 0$ .

Відповідь:

а) $y (- 20) = y (20)$ ; б) $y (- 2) > y (- 1)$ ; в) $y (- 8) > y (0)$ .

Завдання 27

Перевірка правильності нерівності при заданих значеннях змінної

Дано нерівність $3 x - 2 < 7$ . Потрібно перевірити, чи є ці нерівності правильними для наступних значень $x$ :
а) $x = 4$ ;
б) $x = 3$ ;
в) $x = 2$ ;
г) $x = 0$ .

Розв’язання

а) При $x = 4$ : $3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$ . Порівнюємо з 7: $10 < 7$ — хибно.
б) При $x = 3$ : $3 \cdot 3 - 2 = 9 - 2 = 7$ . Порівнюємо з 7: $7 < 7$ — хибно (бо число не менше за себе).
в) При $x = 2$ : $3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$ . Порівнюємо з 7: $4 < 7$ — правильно.
г) При $x = 0$ : $3 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = - 2$ . Порівнюємо з 7: $- 2 < 7$ — правильно.

Відповідь:

а) неправильно; б) неправильно; в) правильно; г) правильно.

Завдання 28

Перевірка нерівностей при заданому значенні змінної

Знайти правильну нерівність серед варіантів А, Б, В за умови $x = 10$ . Варіанти:
А) $0, 5 x + 1 > 3$
Б) $- 7 x + 3 < x$
В) $3 - x \geq x - 17$

Розв’язання

Перевіримо варіант А: підставимо $x = 10$ у вираз $0, 5 x + 1$ . Отримаємо $0, 5 \cdot 10 + 1 = 6$ . Порівняємо з правою частиною ( $3$ ). Оскільки $6 > 3$ , нерівність А є правильною.
Перевіримо варіант Б для повноти: підставимо $x = 10$ у вираз $- 7 x + 3$ . Отримаємо $- 7 \cdot 10 + 3 = - 67$ . Право частина ( $x$ ) дорівнює $10$ . Оскільки $- 67 < 10$ , нерівність Б також є правильною.
Перевіримо варіант В: підставимо $x = 10$ у вираз $3 - x$ . Отримаємо $3 - 10 = - 7$ . Право частина ( $x - 17$ ) дорівнює $10 - 17 = - 7$ . Оскільки $- 7 \geq - 7$ , нерівність В також є правильною.

Відповідь:

Правильні всі три нерівності: А, Б, В.

Завдання 29

Знаходження прикладних значень змінної для нерівностей

Доберіть кілька цілих значень $x$ , які задовольняють нерівності:
а) $2 x + 3 < 0$
б) $3 - x^{2} > 0$
в) $x + \frac{1}{x} < 1$

Розв’язання

Для а) $2 x + 3 < 0$ : віднімемо 3 від обох частин ( $2 x < - 3$ ), поділимо на 2 ( $x < - 1, 5$ ). Цілі числа, що підходять: $- 2, - 3, - 4 \dots$ .
Для б) $3 - x^{2} > 0$ : перенесемо $x^{2}$ у праву частину ( $x^{2} < 3$ ). Коріння з 3 приблизно $1, 73$ , отже $- 1, 73 < x < 1, 73$ . Цілі числа: $- 1, 0, 1$ .
Для в) $x + \frac{1}{x} < 1$ : спробуємо підставити прості цілі числа. Якщо $x = - 1$ , то $- 1 + (- 1) = - 2 < 1$ (підходить). Якщо $x = 1$ , то $1 + 1 = 2 \neq < 1$ . Якщо $x = 2$ , то $2 + 0, 5 = 2, 5 \neq < 1$ . Якщо $x = - 2$ , то $- 2 - 0, 5 = - 2, 5 < 1$ (підходить).

Відповідь:

а) $x = - 2, - 3, - 4 \dots$ ; б) $x = - 1, 0, 1$ ; в) $x = - 2, - 3, - 4 \dots$ .

Завдання 30

Розв'язання лінійних нерівностей для цілих чисел

Знайти кілька цілих значень змінної $n$ , що задовольняють нерівності:
а) $3 n - 2 > 2 n - 3$
б) $5 n + 8 \leq 8 n - 1$

Розв’язання

Для а) $3 n - 2 > 2 n - 3$ : віднімемо $2 n$ від обох частин ( $n - 2 > - 3$ ), додамо 2 ( $n > - 1$ ). Цілі числа, що підходять: $0, 1, 2 \dots$ .
Для б) $5 n + 8 \leq 8 n - 1$ : віднімемо $5 n$ від обох частин ( $8 \leq 3 n - 1$ ), додамо 1 ( $9 \leq 3 n$ ), поділимо на 3 ( $3 \leq n$ або $n \geq 3$ ). Цілі числа, що підходять: $3, 4, 5 \dots$ .

Відповідь:

а) $n = 0, 1, 2 \dots$ ; б) $n = 3, 4, 5 \dots$ .

Завдання 31

Порядок чисел (зростання)

Записати числа у порядку зростання: $(- π)^{2}$ ; $2$ ; $- 1^{2}$ ; $1 \frac{2}{3}$ ; $- 3$ ; $\frac{π}{2}$ ; $(- 2)^{3}$ ; $81$ ; $- 5$ ; $(- 3)^{0}$ .

Розв’язання

Спрощуємо числа: $(- π)^{2} \approx 9, 86$ ; $2 \approx 1, 41$ ; $- 1^{2} = - 1$ ; $1 \frac{2}{3} \approx 1, 67$ ; $- 3 \approx - 1, 73$ ; $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ ; $(- 2)^{3} = - 8$ ; $81 = 9$ ; $- 5$ ; $(- 3)^{0} = 1$ .
Групуємо від'ємні числа: $- 8$ , $- 5$ , $- 1, 73$ , $- 1$ . Співставляємо їх: $- 8 < - 5 < - 3 < - 1$ .
Групуємо додатні числа: $1$ , $1, 41$ , $1, 57$ , $1, 67$ , $9, 86$ , $9$ . Співставляємо їх: $1 < 2 < \frac{π}{2} < 1 \frac{2}{3} < (- π)^{2} < 81$ .
Об'єднуємо списки в один рядок від найменшого до найбільшого.

Відповідь:

$(- 2)^{3}$ ; $- 5$ ; $- 3$ ; $- 1^{2}$ ; $(- 3)^{0}$ ; $2$ ; $\frac{π}{2}$ ; $1 \frac{2}{3}$ ; $(- π)^{2}$ ; $81$ .

Завдання 32

Порядок чисел (спадання)

Записати числа у порядку спадання: $- 2 π$ ; $10$ ; $29 7^{0}$ ; $(- \frac{5}{2})^{2}$ ; $\frac{1}{0 , 3}$ ; $\frac{π}{10}$ ; $0^{297}$ ; $(- 2)^{5}$ ; $π$ ; $- \frac{25}{4}$ .

Розв’язання

Спрощуємо числа: $- 2 π \approx - 6, 28$ ; $10 \approx 3, 16$ ; $29 7^{0} = 1$ ; $(- \frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4} = 6, 25$ ; $\frac{1}{0 , 3} = \frac{10}{3} \approx 3, 33$ ; $\frac{π}{10} \approx 0, 31$ ; $0^{297} = 0$ ; $(- 2)^{5} = - 32$ ; $π \approx 3, 14$ ; $- \frac{25}{4} = - 6, 25$ .
Визначаємо найбільше число: $\frac{1}{0 , 3} \approx 3, 33$ , але є ще $6, 25$ та $3, 16$ . Порівняння: $\frac{25}{4} = 6, 25$ , $10 \approx 3, 16$ , $π \approx 3, 14$ , $\frac{π}{10} \approx 0, 31$ , $1$ , $0$ .
Визначаємо найменше число: $- 32$ (найбільш від'ємне), далі $- 6, 28$ , потім $- 6, 25$ .
Сортуємо числа від найбільшого до найменшого: $\frac{1}{0 , 3}$ ; $(- \frac{5}{2})^{2}$ ; $10$ ; $π$ ; $\frac{π}{10}$ ; $29 7^{0}$ ; $0^{297}$ ; $- 2 π$ ; $- \frac{25}{4}$ ; $(- 2)^{5}$ .

Відповідь:

$\frac{1}{0 , 3}$ ; $(- \frac{5}{2})^{2}$ ; $10$ ; $π$ ; $\frac{π}{10}$ ; $29 7^{0}$ ; $0^{297}$ ; $- 2 π$ ; $- \frac{25}{4}$ ; $(- 2)^{5}$ .