ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 9

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 9–18 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Загальні відомості про нерівності

Завдання 9

Гра з порівняння дробових чисел

Один учень записує два дробові числа, інший має їх порівняти. Після цього учні міняються ролями.

Розв’язання

Запишемо перші два дроби, наприклад $x = \frac{3}{4} = 0, 75$ і $y = \frac{5}{6} \approx 0, 83$ .
Порівнюємо отримані числа: $0, 75 < 0, 83$ , отже $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Відповідь:

Гра полягає у тому, щоб записати два дроби та визначити їхнє співвідношення (більше/менше).

Завдання 10

Порівняння чисел

a

b

за різницею

а) $a - b = 0, 01$ ; б) $a - b = - 3, 7$ ; в) $a = 2, 3 + b$ ; г) $b - a = (- 3)^{2}$ ; д) $a - b = 0$ ; е) $b = a + 1$ .

Розв’язання

а) $a - b = 0, 01 > 0$ , отже $a > b$ .
б) $a - b = - 3, 7 < 0$ , отже $a < b$ .
в) $a - b = 2, 3 > 0$ , отже $a > b$ .
г) $b - a = (- 3)^{2} = 9 \Rightarrow - (a - b) = 9 \Rightarrow a - b = - 9 < 0$ , отже $a < b$ .
д) $a - b = 0$ , отже $a = b$ .
е) $b - a = 1 > 0 \Rightarrow a - b = - 1 < 0$ , отже $a < b$ (або $b > a$ ).

Відповідь:

а) $a > b$ ; б) $a < b$ ; в) $a > b$ ; г) $a < b$ ; д) $a = b$ ; е) $b > a$ .

Завдання 11

Порівняння чисел

m

n

за виразами

а) $m - n = 0, 5$ ; б) $n - m = 5$ ; в) $m - 4 = n$ ; г) $m + 3 = n$ .

Розв’язання

а) $m - n = 0, 5 > 0$ , отже $m > n$ .
б) $n - m = 5 \Rightarrow - (m - n) = 5 \Rightarrow m - n = - 5 < 0$ , отже $m < n$ .
в) $m - n = 4 > 0$ , отже $m > n$ .
г) $m - n = - 3 < 0$ , отже $m < n$ .

Відповідь:

а) $m > n$ ; б) $m < n$ ; в) $m > n$ ; г) $m < n$ .

Завдання 12

Перевірка правильності нерівностей

Дано чотири твердження про порівняння чисел та виразів, потрібно визначити, які з них є істинними.
а) $- 7 > - 5$ ; б) $4, 3 ⩾ - 3, 4$ ; в) $5 ⩽ π$ ; г) $\frac{1}{0 , 5} > 0, 5$ ; ґ) $2 \frac{1}{4} ⩾ 1, 5$ ; д) $π ⩽ 3, 14$ .

Розв’язання

Порівнюємо числа в пунктах а) і б): $- 7$ менше за $- 5$ , отже $- 7 > - 5$ — хибно; $4, 3$ більше за $- 3, 4$ , тому $4, 3 ⩾ - 3, 4$ — істинно.
Оцінюємо корені в пунктах в) та ґ): $5$ приблизно дорівнює $2, 23$ , а $π \approx 3, 14$ , отже $2, 23 < 3, 14$ (нерівність істинна); $2, 25 = 1, 5$ , тому $1, 5 ⩾ 1, 5$ — істинно.
Перевіряємо дріб у пункті г): $\frac{1}{0 , 5} = 2$ , а $2 > 0, 5$ , отже нерівність істинна.
Порівнюємо $π$ з $3, 14$ : оскільки $π \approx 3, 14159 \dots$ , то $π > 3, 14$ , отже $π ⩽ 3, 14$ — хибно.

Відповідь:

Правильні нерівності: б), в), г), ґ).

Завдання 13

Порівняння дробів та десяткових чисел

Необхідно порівняти пари чисел, використовуючи знаки $>$ або $<$ .
а) $\frac{10}{11}$ і $\frac{19}{20}$ ; б) $\frac{28}{29}$ і $\frac{29}{30}$ ; в) $\frac{48}{49}$ і $0, 98$ ; г) $- \frac{7}{9}$ і $- \frac{9}{7}$ ; ґ) $\frac{2}{15}$ і $\frac{9}{17}$ ; д) $- \frac{5}{7}$ і $- \frac{1}{3}$ .

Розв’язання

Порівнюємо $\frac{10}{11} \approx 0, 909$ і $\frac{19}{20} = 0, 95$ : $0, 909 < 0, 95$ , отже $\frac{10}{11} < \frac{19}{20}$ .
Порівнюємо $\frac{28}{29} \approx 0, 965$ і $\frac{29}{30} \approx 0, 966$ : $\frac{28}{29} < \frac{29}{30}$ .
Порівнюємо $\frac{48}{49} \approx 0, 979$ і $0, 98$ : $0, 979 < 0, 98$ , отже $\frac{48}{49} < 0, 98$ .
Порівнюємо $- \frac{7}{9} \approx - 0, 77$ і $- \frac{9}{7} \approx - 1, 28$ : модуль першого менший, отже число більше: $- \frac{7}{9} > - \frac{9}{7}$ .
Порівнюємо $\frac{2}{15} \approx 0, 133$ і $\frac{9}{17} \approx 0, 529$ : $\frac{2}{15} < \frac{9}{17}$ .
Порівнюємо $- \frac{5}{7} \approx - 0, 71$ і $- \frac{1}{3} \approx - 0, 33$ : модуль першого більший, отже число менше: $- \frac{5}{7} < - \frac{1}{3}$ .

Відповідь:

а) $\frac{10}{11} < \frac{19}{20}$ ; б) $\frac{28}{29} < \frac{29}{30}$ ; в) $\frac{48}{49} < 0, 98$ ; г) $- \frac{7}{9} > - \frac{9}{7}$ ; ґ) $\frac{2}{15} < \frac{9}{17}$ ; д) $- \frac{5}{7} < - \frac{1}{3}$ .

Завдання 14

Вибір правильної нерівності (НМТ)

Дано п'ять варіантів порівняння дробів, потрібно знайти той, який є істинним.
А $\frac{3}{8} > \frac{5}{8}$ ; Б $\frac{7}{2} < \frac{7}{3}$ ; В $\frac{8}{9} > \frac{9}{8}$ ; Г $\frac{5}{6} > \frac{4}{5}$ ; Д $\frac{19}{21} < \frac{6}{7}$ .

Розв’язання

Варіант А: $\frac{3}{8}$ і $\frac{5}{8}$ мають однаковий знаменник, чисельник $3 < 5$ , отже $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$ (варіант хибний).
Варіант Б: $\frac{7}{2} = 3, 5$ і $\frac{7}{3} \approx 2, 33$ . Оскільки $3, 5 > 2, 33$ , то $\frac{7}{2} > \frac{7}{3}$ (варіант хибний).
Варіант В: $\frac{8}{9} < 1$ і $\frac{9}{8} > 1$ , отже $\frac{8}{9} < \frac{9}{8}$ (варіант хибний).
Варіант Г: Приведемо до спільного знаменника $30$ : $\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$ і $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$ . Оскільки $25 > 24$ , то $\frac{5}{6} > \frac{4}{5}$ (варіант істинний).
Варіант Д: Приведемо до спільного знаменника $21$ : $\frac{19}{21}$ і $\frac{6}{7} = \frac{18}{21}$ . Оскільки $19 > 18$ , то $\frac{19}{21} > \frac{6}{7}$ (варіант хибний).

Відповідь:

Правильна нерівність — Г.

Завдання 15

Автобуси та місця

Перший автобус має 38 місць, другий — на 4 місця більше. Чи вистачить місць у обох автобусах для 79 учнів? Записати нерівності та зробити висновок.

Розв’язання

Знайдемо кількість місць у другому автобусі: $38 + 4 = 42$ місця.
Обчислимо загальну кількість місць у двох автобусах: $38 + 42 = 80$ місць.
Порівняємо загальну кількість місць з кількістю учнів: $80 > 79$ .

Відповідь:

Так, місця вистачає ( $80 > 79$ ).

Завдання 16

Підручники для учнів

У бібліотеці 45 підручників з математики, у кабінеті — на 7 менше. Чи вистачить цих підручників роздати 80 учням? Записати нерівності та зробити висновок.

Розв’язання

Кількість підручників у кабінеті: $45 - 7 = 38$ .
Загальна кількість підручників: $45 + 38 = 83$ .
Порівняємо з кількістю учнів: $83 > 80$ .

Відповідь:

Так, підручників вистачає ( $83 > 80$ ).

Завдання 17

Координатна пряма та нерівності

Точки $A (a)$ , $C (c)$ , $B (b)$ розміщені на координатній прямій зліва направо. Визначити найбільше і найменше числа, а також перевірити правильність нерівностей: а) $a < b$ ; б) $b < c$ ; в) $c < a$ ; г) $b ⩾ c$ .

Розв’язання

З малюнка видно порядок точок зліва направо: $A (a)$ , $C (c)$ , $B (b)$ . Отже, $a < c < b$ .
Найбільше число — це $b$ (точка $B$ правіша за всі інші). Найменше число — це $a$ (точка $A$ ліворуч від усіх інших).
Перевіримо нерівності: а) $a < b$ — справджується, бо $a$ менше за $b$ . б) $b < c$ — хибна, бо $b > c$ . в) $c < a$ — хибна, бо $c > a$ . г) $b ⩾ c$ — справджується, бо $b > c$ .

Відповідь:

Найбільше число $b$ , найменше $a$ . Нерівності правильні: а) так; б) ні; в) ні; г) так.

Завдання 18

Порівняння чисел на координатній прямій

Точки з координатами $m, n, p, k$ розміщені на координатній прямій (Мал. 1.4) у порядку зростання відліку: $M (m)$ , $N (n)$ , $P (p)$ , $K (k)$ . Потрібно поставити знак ( $<$ або $>$ ) у виразах: а) $m * p$ ; б) $n * k$ ; в) $k * m$ ; г) $p * n$ .

Розв’язання

За малюнком 1.4 порядок точок та їхніх координат: $m$ (ліво), $n$ , $p$ , $k$ (право). Отже, $m < n < p < k$ .
а) Порівнюємо $m$ і $p$ : оскільки $m$ лівіше $p$ , то $m < p$ .
б) Порівнюємо $n$ і $k$ : оскільки $n$ лівіше $k$ , то $n < k$ .
в) Порівнюємо $k$ і $m$ : оскільки $k$ правіше $m$ , то $k > m$ .
г) Порівнюємо $p$ і $n$ : оскільки $p$ правіше $n$ , то $p > n$ .

Відповідь:

а) $<$ ; б) $<$ ; в) $>$ ; г) $>$ .