ГДЗ · Алгебра · 9 клас

Сторінка 8

Алгебра, Бевз Г. П., Бевз В. Г., Васильєва Д. В., Владімірова Н. Г., 2026 · № 1 (с. 8)–8 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Загальні відомості про нерівності

Завдання 1 (с. 8)

Означення знаків нерівностей

Пояснити зміст записів $a \leq b$ та $a \geq b$ і прочитати їх.

Розв’язання

Розглянемо знак $\leq$ . Він поєднує умови $a < b$ (число $a$ менше числа $b$ ) та $a = b$ (числа рівні). Отже, $a \leq b$ означає, що $a$ менше або дорівнює $b$ .
Розглянемо знак $\geq$ . Він поєднує умови $a > b$ (число $a$ більше числа $b$ ) та $a = b$ (числа рівні). Отже, $a \geq b$ означає, що $a$ більше або дорівнює $b$ .

Відповідь:

$a \leq b$ читається як « $a$ менше або дорівнює $b$ », а $a \geq b$ — як « $a$ більше або дорівнює $b$ ».

Завдання 2 (с. 8)

Порівняння чисел за різницею

Визначити, яке з чисел $x$ і $y$ менше у випадках: а) $x - y = 1$ ; б) $x - y = - 1$ ; в) $y - x = 2$ ; г) $y - 5 = x$ .

Розв’язання

а) Оскільки $x - y = 1$ (число додатне), то $x > y$ . Отже, менше число $y$ .
б) Оскільки $x - y = - 1$ (число від'ємне), то $x < y$ . Отже, менше число $x$ .
в) Перепишемо рівняння як $- (x - y) = 2$ , звідки $x - y = - 2$ . Різниця від'ємна, тому $x < y$ . Менше число $x$ .
г) Перепишемо рівняння як $y - x = 5$ . Різниця додатна ( $5 > 0$ ), тому $y > x$ . Отже, менше число $x$ .

Відповідь:

а) менше $y$ ; б) менше $x$ ; в) менше $x$ ; г) менше $x$ .

Завдання 3

Порівняння координат на проміжку

На координатній прямій (мал. 1.2) задані точки $K (k)$ , $L (l)$ , $M (m)$ . Координата точки $K$ — $k$ , точка $L$ — $l$ , точка $M$ — $m$ . Потрібно порівняти пари чисел: а) $k$ і $m$ ; б) $k$ і $1$ ; в) $m$ і $l$ ; г) $0$ і $l$ ; д) $k$ і $l$ ; е) $m$ і $- 1$ .

Розв’язання

З малюнка видно порядок точок зліва направо: точка $K$ , початок координати $0$ , точка $L$ , одинична відмітка $1$ , точка $M$ . Отже, $k < 0 < l < 1 < m$ .
а) Порівнюємо $k$ і $m$ : оскільки $k$ зліва від $m$ , то $k < m$ .
б) Порівнюємо $k$ і $1$ : точка $K$ знаходиться ліворуч від позначки $1$ , отже, $k < 1$ .
в) Порівнюємо $m$ і $l$ : точка $M$ знаходиться правіше точки $L$ , отже, $m > l$ .
г) Порівнюємо $0$ і $l$ : точка $L$ знаходиться правіше нуля, отже, $0 < l$ .
д) Порівнюємо $k$ і $l$ : точка $K$ знаходиться ліворуч від точки $L$ , отже, $k < l$ .
е) Порівнюємо $m$ і $- 1$ : точка $M$ знаходиться правіше позначки $- 1$ , отже, $m > - 1$ .

Відповідь:

а) $k < m$ ; б) $k < 1$ ; в) $m > l$ ; г) $0 < l$ ; д) $k < l$ ; е) $m > - 1$ .

Завдання 4

Визначення хибної нерівності

Яка з наведених нерівностей є неправильною?
А $2 ⩾ 2$ ; Б $- 3 < - 5$ ; В $- 3 ⩽ 2$ ; Г $- 5 ⩽ - 2$ .

Розв’язання

Перевіримо варіант А: число 2 дорівнює 2, тому запис $2 ⩾ 2$ є правильним.
Перевіримо варіант Б: число $- 3$ більше за $- 5$ , тому знак менше ( $<$ ) тут використано неправильно; нерівність хибна.
Перевіримо варіант В: число $- 3$ менше за 2, тому запис $- 3 ⩽ 2$ є правильним.
Перевіримо варіант Г: число $- 5$ менше за $- 2$ , тому запис $- 5 ⩽ - 2$ є правильним.

Відповідь:

Хибна нерівність — Б ( $- 3 < - 5$ ).

Завдання 5

Порівняння чисел (записи та дроби)

Порівняй пари чисел:
а) $1, 28$ і $\frac{5}{4}$ ;
б) $0, 02$ і $1 \frac{1}{50}$ ;
в) $- \frac{1}{3}$ і $- 0, 33$ ;
г) $1, 6$ і $\frac{5}{3}$ .

Розв’язання

а) $\frac{5}{4} = 1, 25$ . Порівнюємо $1, 28$ і $1, 25$ : число $1, 28$ більше за $1, 25$ , отже $1, 28 > \frac{5}{4}$ .
б) $1 \frac{1}{50} = 1 + 0, 02 = 1, 02$ . Порівнюємо $0, 02$ і $1, 02$ : число $0, 02$ менше за $1, 02$ , отже $0, 02 < 1 \frac{1}{50}$ .
в) Переведемо дріб у десятковий: $- \frac{1}{3} \approx - 0, 333 \dots$ . Порівнюємо $- 0, 33$ і $- 0, 333 \dots$ : число $- 0, 33$ більше за $- 0, 333 \dots$ , отже $- \frac{1}{3} < - 0, 33$ .
г) $\frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} \approx 1, 66 \dots$ . Порівнюємо $1, 6$ і $1, 66 \dots$ : число $1, 6$ менше за $\frac{5}{3}$ , отже $1, 6 < \frac{5}{3}$ .

Відповідь:

а) $1, 28 > \frac{5}{4}$ ; б) $0, 02 < 1 \frac{1}{50}$ ; в) $- \frac{1}{3} < - 0, 33$ ; г) $1, 6 < \frac{5}{3}$ .

Завдання 6

Порівняння дробів

Порівняй пари дробів:
а) $\frac{5}{7}$ і $\frac{3}{7}$ ;
б) $- \frac{4}{3}$ і $- \frac{4}{5}$ ;
в) $\frac{5}{6}$ і $\frac{6}{7}$ ;
г) $- \frac{7}{13}$ і $- \frac{13}{27}$ .

Розв’язання

а) Знаменники однакові ( $7$ ). Порівнюємо чисельники: $5 > 3$ , отже $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$ .
б) Обидва дроби від'ємні. Порівняємо модулі: $\frac{4}{3} \approx 1, 33$ і $\frac{4}{5} = 0, 8$ . Оскільки $1, 33 > 0, 8$ , то модуль першого дробу більший. Для від'ємних чисел це означає, що $- \frac{4}{3} < - \frac{4}{5}$ .
в) Знайдемо спільний знаменник (множник 42): $\frac{5}{6} = \frac{35}{42}$ і $\frac{6}{7} = \frac{36}{42}$ . Оскільки $35 < 36$ , то $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$ .
г) Переведемо дроби у десяткові: $- \frac{7}{13} \approx - 0, 538$ і $- \frac{13}{27} \approx - 0, 481$ . Оскільки $- 0, 538 < - 0, 481$ , то $- \frac{7}{13} < - \frac{13}{27}$ .

Відповідь:

а) $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$ ; б) $- \frac{4}{3} < - \frac{4}{5}$ ; в) $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$ ; г) $- \frac{7}{13} < - \frac{13}{27}$ .

Завдання 7

Порівняння числа та його оберненого

Чи завжди значення $\frac{1}{x}$ менше за відповідне значення $x$ ?

Розв’язання

Розглянемо випадок, коли $x = 2$ . Тоді $\frac{1}{x} = \frac{1}{2} = 0, 5$ . Порівнюємо: $0, 5 < 2$ , тобто $\frac{1}{x} < x$ виконується.
Розглянемо випадок, коли $x = 0, 5$ . Тоді $\frac{1}{x} = \frac{1}{0 , 5} = 2$ . Порівнюємо: $2 > 0, 5$ , тобто $\frac{1}{x} > x$ .
Оскільки знайшли випадок, коли значення $\frac{1}{x}$ більше за значення $x$ , твердження про те, що це завжди так, є неправильним.

Відповідь:

Ні, значення $\frac{1}{x}$ не завжди менше за $x$ (наприклад, якщо $x = 0, 5$ , то $\frac{1}{x} = 2 > 0, 5$ ).

Завдання 8

Значення дорожнього знака

Поясни значення дорожнього знака з цифрою «4,5» та літерою «М», показаного на малюнку.

Розв’язання

Знак має форму круга червоного кольору з білим фоном, що означає обов'язкове дотримання обмеження.
Цифра «4,5» вказує на висоту проїзду під мостом або естакадою.
Літера «М» (від слова «міст») підтверджує, що це обмеження висоти для автомобіля.

Відповідь:

Це знак обмеження висоти проїзду під мостом; висота вільного простору становить 4,5 метра.