Довести, що при кожному дійсному значенні a правильна нерівність: а) (a−3)2+2>0; б) 4a2−4a+1≥0; в) 9a2+2>6a.
Розв’язання
а)(a−3)2≥0 для будь-якого a. Додамо до обох частин 2: (a−3)2+2≥2. Отже, вираз завжди більше за 0.
б) Розкладемо на множники або переведемо у повний квадрат: 4a2−4a+1=(2a−1)2. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то (2a−1)2≥0 завжди.
в) Перенесемо 6a у ліву частину: 9a2−6a+2. Спробуємо записати як повний квадрат: (3a−1)2=9a2−6a+1. Отже, 9a2−6a+2=(3a−1)2+1. Оскільки (3a−1)2≥0, то (3a−1)2+1≥1>0.
Відповідь:
а) Нерівність завжди правильна; б) Нерівність завжди правильна (як ≥); в) Нерівність завжди правильна.
Розбір зрозумілий?
§ 1. Загальні відомості про нерівностіЗавдання 42 (с. 13)с. 13
Доведення складених нерівностей
Умова
Довести, що при кожному дійсному значенні a правильна нерівність: а) (a−3)2+2>0; б) 4a2−4a+1≥0; в) 9a2+2>6a.
Що треба знати
Квадрат будь-якого числа невід'ємний (x2≥0). Сума додатного числа та невід'ємного завжди додатна. Вираз, що є повним квадратом тричлена, завжди невід'ємний.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Перетворіть вирази у вигляді повних квадратів або додайте/відніміть константи до квадратів. Згадайте мінімальне значення квадрата.
Розв’язання крок за кроком
а)(a−3)2≥0 для будь-якого a. Додамо до обох частин 2: (a−3)2+2≥2. Отже, вираз завжди більше за 0.
б) Розкладемо на множники або переведемо у повний квадрат: 4a2−4a+1=(2a−1)2. Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний, то (2a−1)2≥0 завжди.
в) Перенесемо 6a у ліву частину: 9a2−6a+2. Спробуємо записати як повний квадрат: (3a−1)2=9a2−6a+1. Отже, 9a2−6a+2=(3a−1)2+1. Оскільки (3a−1)2≥0, то (3a−1)2+1≥1>0.
Відповідь:
а) Нерівність завжди правильна; б) Нерівність завжди правильна (як ≥); в) Нерівність завжди правильна.
