Завдання 42, § 1. Загальні відомості про нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 42

Доведення нерівностей

Довести, що при кожному дійсному $a$ виконуються нерівності: а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $4 a^{2} - 4 a + 1 \geq 0$ ; в) $9 a^{2} + 2 > 6 a$ .

Розв’язання

а) Оскільки $(a - 3)^{2} \geq 0$ для будь-якого $a$ , то сума $(a - 3)^{2} + 2$ обов'язково більша за 2, отже, і більша за 0.
б) Вираз можна переписати як повний квадрат: $4 a^{2} - 4 a + 1 = (2 a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа $\geq 0$ , то $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ .
в) Перенесемо член $6 a$ у ліву частину: $9 a^{2} - 6 a + 2$ . Спрощуємо до повного квадрату: $(3 a - 1)^{2} + 1$ . Оскільки $(3 a - 1)^{2} \geq 0$ , то сума з 1 буде додатною, тобто $> 0$ .

Відповідь:

а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ ; в) $(3 a - 1)^{2} + 1 > 0$ .

Розбір зрозумілий?

§ 1. Загальні відомості про нерівності Завдання 42 с. 11

Доведення нерівностей

Умова

Довести, що при кожному дійсному $a$ виконуються нерівності: а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $4 a^{2} - 4 a + 1 \geq 0$ ; в) $9 a^{2} + 2 > 6 a$ .

Що треба знати

Квадрат будь-якого дійсного числа невід'ємний ( $x^{2} \geq 0$ ). Якщо до невід'ємного числа додати додатне число, сума буде додатною. Вираз $4 a^{2} - 4 a + 1$ є повним квадратом $(2 a - 1)^{2}$ .

💡 Підказка — спробуй спершу сам

Розглянь кожен вираз окремо. Для першого згадай властивість квадрата та додавання. Другий вираз спрости до квадрата двочлена. Третій переписи так, щоб з'явився повний квадрат або порівняй з відомою нерівністю.

Розв’язання крок за кроком

а) Оскільки $(a - 3)^{2} \geq 0$ для будь-якого $a$ , то сума $(a - 3)^{2} + 2$ обов'язково більша за 2, отже, і більша за 0.
б) Вираз можна переписати як повний квадрат: $4 a^{2} - 4 a + 1 = (2 a - 1)^{2}$ . Оскільки квадрат будь-якого числа $\geq 0$ , то $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ .
в) Перенесемо член $6 a$ у ліву частину: $9 a^{2} - 6 a + 2$ . Спрощуємо до повного квадрату: $(3 a - 1)^{2} + 1$ . Оскільки $(3 a - 1)^{2} \geq 0$ , то сума з 1 буде додатною, тобто $> 0$ .

Відповідь:

а) $(a - 3)^{2} + 2 > 0$ ; б) $(2 a - 1)^{2} \geq 0$ ; в) $(3 a - 1)^{2} + 1 > 0$ .

Розбір зрозумілий?