Завдання 41 (с. 13), § 1. Загальні відомості про нерівності — ГДЗ Алгебра 9 клас Бевз Г. П.

Завдання 41 (с. 13)

Доведення нерівностей

Довести, що при кожному дійсному значенні $c$ правильна нерівність: а) $c^{2} + 3 > 0$ ; б) $(c + 2)^{2} > 0$ ; в) $(c - 1)^{2} \geq 0$ .

Розв’язання

а) Оскільки $c^{2} \geq 0$ для будь-якого $c$ , то $c^{2} + 3 \geq 3$ . Отже, $c^{2} + 3 > 0$ .
б) Вираз $(c + 2)^{2}$ є квадратом числа $(c + 2)$ . Квадрат будь-якого числа невід'ємний, але дорівнює нулю лише при $c = - 2$ . Тоді $(c + 2)^{2} = 0$ , що не задовольняє умову строгої нерівності. Отже, для всіх $c \neq = - 2$ нерівність правильна, а при $c = - 2$ вона хибна (рівність). Увага: у завданні йдеться про "правильну нерівність", але квадрат може дорівнювати нулю. Якщо вимагається строго більше нуля, то виконується не для всіх $c$ , а для всіх $c \neq = - 2$ . Однак, якщо це задача на перевірку властивості квадрата, то часто мають на увазі невід'ємність. Перевіримо умову: "Доведи, що при кожному значенні n правильна нерівність". Це означає, що твердження має бути істинним для всіх $c$ . Але $(c + 2)^{2} > 0$ хибне при $c = - 2$ . Можливо, в умові підручника допущена неточність або мається на увазі $\geq 0$ . Проте, дотримуючись тексту завдання: твердження не є правильним для всіх $c$ , оскільки існує випадок рівності.
Корекція розв'язання згідно зі стандартною школьною логікою: Часто такі задачі перевіряють знання, що квадрат завжди $\geq 0$ . Якщо в умові написано саме $>$ , то твердження хибне при $c = - 2$ . Але якщо це завдання на доведення властивості, можливо, мається на увазі інше. Давайте перевіримо варіант в): $(c - 1)^{2} \geq 0$ — це завжди істина. Для б) і а) — це суто додатні вирази (за винятком випадку нулю для б).
Альтернативне тлумачення: Можливо, автор мав на увазі $\geq 0$ для всіх випадків. Але якщо писати строго:
а) $c^{2} \geq 0 \Rightarrow c^{2} + 3 \geq 3 > 0$ . (Правильно).
б) $(c + 2)^{2} \geq 0$ . Рівність при $c = - 2$ . Тобто $> 0$ не завжди.
в) $(c - 1)^{2} \geq 0$ . (Правильно як нерівність $\geq$ ).
Однак, оскільки це завдання на доведення "правильності", ймовірно, автор мав на увазі саме властивість невід'ємності квадрата.
Давайте розглянемо їх як перевірку знання того, що квадрат $\geq 0$ .
а) $c^{2} \geq 0$ , отже $c^{2} + 3 > 0$ завжди.
б) $(c + 2)^{2} \geq 0$ . Це не завжди $> 0$ . Але якщо це завдання з підручника Бевз, то там часто йдеться про те, що квадрат додатний для всіх $x \neq = - 2$ , а при $- 2$ — нуль.
Висновок: Найімовірніше, в умові завдання 41б) мається на увазі $\geq 0$ , або ж це "пастка". Але оскільки я мушу дати розбір:
а) $c^{2} \geq 0 \Rightarrow c^{2} + 3 > 0$ (визначно додатне).
б) $(c + 2)^{2} \geq 0$ . Якщо вимагається $> 0$ , то це не для всіх $c$ . Але якщо завдання "Доведи, що...", то ймовірно, мається на увазі $\geq 0$ або автор забув про випадок нуля.
Рішення: Я напишу розбір з урахуванням того, що квадрат завжди невід'ємний.
в) $(c - 1)^{2} \geq 0$ для будь-якого $c$ , оскільки квадрат будь-якого числа є невід'ємним. Рівність досягається при $c = 1$ .

Відповідь:

а) Нерівність завжди правильна, бо $c^{2} \geq 0$ ; б) Нерівність правильна для всіх $c \neq = - 2$ (при $c = - 2$ виконується рівність); в) Нерівність завжди правильна (як нерівність $\geq$ ), оскільки квадрат невід'ємний.

Розбір зрозумілий?