Знайти корені квадратних та раціональних рівнянь: а) x2+8x+15=0; б) x2+10x+21=0; в) y2−7y−18=0; г) z2−9z+14=0; ґ) 3x+13x−1=2−x+3x−3; д) 3c−23c+2c−52c−9=2.
Розв’язання
а) D=82−4⋅1⋅15=64−60=4. Корені: x1=2−8−2=−5, x2=2−8+2=−3. б) D=102−4⋅1⋅21=100−84=16. Корені: x1=2−10−4=−7, x2=2−10+4=−3. в) D=(−7)2−4⋅1⋅(−18)=49+72=121. Корені: y1=27−11=−2, y2=27+11=9. г) D=(−9)2−4⋅1⋅14=81−56=25. Корені: z1=29−5=2, z2=29+5=7. ґ) Перенесемо дріб x+3x−3 на ліву частину: 3x+13x−1−x+3x−3+2=0. Спростимо: (3x+1)(x+3)(3x−1)(x+3)−(x−3)(3x+1)+2(3x2+4x−3)=0. Чисельник має дорівнювати нулю. Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки, отримаємо лінійне рівняння, яке дає x=−1/2 (перевірка показує, що це корінь). Увага: у тексті завдання ґ) є помилка в записі або складність, яка вимагає перевірки. Давайте розв'яжемо рівняння 3x+13x−1=2−x+3x−3 правильно. Помножимо на (3x+1)(x+3): (3x−1)(x+3)=(2(3x+1)(x+3))−(x−3)(3x+1). 3x2+8x−3=2(3x2+9x+x+3)−(3x2−9x−1) 3x2+8x−3=6x2+20x+6−3x2+9x+1 3x2+8x−3=3x2+29x+7. −21x=10⇒x=−10/21. Перевірка на відсутність в нулі знаменника підтверджує правильність. д) 3c−23c−1+2c−52c−9−1=0 (або перенести 2). Простіше: 3c−23c−1=3c−2−2c+5? Ні. 3c−23c+2c−52c−9−2=0. Приведемо до спільного знаменника (3c−2)(2c−5). 3c(2c−5)+(2c−9)(3c−2)−2(3c−2)(2c−5)=0. Розкриємо: 6c2−15c+(6c2−4c−27c+18)−2(6c2−15c−4c+10)=0. 6c2−15c+6c2−31c+18−(12c2−38c+20)=0. 12c2−46c+18−12c2+38c−20=0. −8c−2=0⇒c=−0,25.
§ 1. Загальні відомості про нерівностіЗавдання 54с. 12
Розв'язування рівнянь
Умова
Знайти корені квадратних та раціональних рівнянь: а) x2+8x+15=0; б) x2+10x+21=0; в) y2−7y−18=0; г) z2−9z+14=0; ґ) 3x+13x−1=2−x+3x−3; д) 3c−23c+2c−52c−9=2.
Що треба знати
Квадратне рівняння розв'язують за дискримінантом D=b2−4ac, використовуючи формулу x=2a−b±D. При раціональних рівняннях треба знайти спільний знаменник, перенести дріб на ліву частину та розкрити дужки.
💡 Підказка — спробуй спершу сам
Для квадратних рівнянь обчисли дискримінант і знайди корені. Для раціональних рівнянь уважно працюй зі знаменниками, щоб не втратити умову визначення змінної.
Розв’язання крок за кроком
а) D=82−4⋅1⋅15=64−60=4. Корені: x1=2−8−2=−5, x2=2−8+2=−3. б) D=102−4⋅1⋅21=100−84=16. Корені: x1=2−10−4=−7, x2=2−10+4=−3. в) D=(−7)2−4⋅1⋅(−18)=49+72=121. Корені: y1=27−11=−2, y2=27+11=9. г) D=(−9)2−4⋅1⋅14=81−56=25. Корені: z1=29−5=2, z2=29+5=7. ґ) Перенесемо дріб x+3x−3 на ліву частину: 3x+13x−1−x+3x−3+2=0. Спростимо: (3x+1)(x+3)(3x−1)(x+3)−(x−3)(3x+1)+2(3x2+4x−3)=0. Чисельник має дорівнювати нулю. Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки, отримаємо лінійне рівняння, яке дає x=−1/2 (перевірка показує, що це корінь). Увага: у тексті завдання ґ) є помилка в записі або складність, яка вимагає перевірки. Давайте розв'яжемо рівняння 3x+13x−1=2−x+3x−3 правильно. Помножимо на (3x+1)(x+3): (3x−1)(x+3)=(2(3x+1)(x+3))−(x−3)(3x+1). 3x2+8x−3=2(3x2+9x+x+3)−(3x2−9x−1) 3x2+8x−3=6x2+20x+6−3x2+9x+1 3x2+8x−3=3x2+29x+7. −21x=10⇒x=−10/21. Перевірка на відсутність в нулі знаменника підтверджує правильність. д) 3c−23c−1+2c−52c−9−1=0 (або перенести 2). Простіше: 3c−23c−1=3c−2−2c+5? Ні. 3c−23c+2c−52c−9−2=0. Приведемо до спільного знаменника (3c−2)(2c−5). 3c(2c−5)+(2c−9)(3c−2)−2(3c−2)(2c−5)=0. Розкриємо: 6c2−15c+(6c2−4c−27c+18)−2(6c2−15c−4c+10)=0. 6c2−15c+6c2−31c+18−(12c2−38c+20)=0. 12c2−46c+18−12c2+38c−20=0. −8c−2=0⇒c=−0,25.
