ГДЗ · Алгебра · 8 клас

Сторінка 17

Алгебра, Істер, 2025 · № 1.21–1.30 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Раціональні вирази. Раціональні дроби

Завдання 1.21

Довести знак дробу

Доведіть, що для будь-якого значення змінної дріб: 1) $\frac{7}{a ^{2} + 1}$ додатний; 2) $\frac{4}{- p ^{2} - 2}$ від’ємний; 3) $\frac{( a + 1 ) ^{2}}{a ^{2} + 7}$ невід’ємний; 4) $\frac{- ( p ^{2} - 4 ) ^{2}}{p ^{4} + 1}$ недодатний.

Розв’язання

1) $a^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ і $7 > 0$ , тож дріб додатний.
2) $- p^{2} - 2 = - (p^{2} + 2) ⩽ - 2 < 0$ , а $4 > 0$ , тож дріб від’ємний.
3) $(a + 1)^{2} ⩾ 0$ , $a^{2} + 7 > 0$ , тож дріб $⩾ 0$ .
4) $- (p^{2} - 4)^{2} ⩽ 0$ , $p^{4} + 1 > 0$ , тож дріб $⩽ 0$ .

Відповідь:

Доведено: знак визначається чисельником, бо знаменник завжди додатний (або завжди від’ємний у 2).

Завдання 1.22

Перетворити на многочлен

1) $(a^{2} + 2 a - 7) - (a^{2} - 4 a - 9)$ ; 2) $3 x^{2} y (2 x - 3 y + 7)$ ; 3) $(x^{2} - 2 x) (x + 9)$ ; 4) $(x^{2} - 5)^{2} + 10 x^{2}$ .

Розв’язання

1) $a^{2} + 2 a - 7 - a^{2} + 4 a + 9 = 6 a + 2$ .
2) $6 x^{3} y - 9 x^{2} y^{2} + 21 x^{2} y$ .
3) $x^{3} + 9 x^{2} - 2 x^{2} - 18 x = x^{3} + 7 x^{2} - 18 x$ .
4) $x^{4} - 10 x^{2} + 25 + 10 x^{2} = x^{4} + 25$ .

Відповідь:

1) $6 a + 2$ ; 2) $6 x^{3} y - 9 x^{2} y^{2} + 21 x^{2} y$ ; 3) $x^{3} + 7 x^{2} - 18 x$ ; 4) $x^{4} + 25$ .

Завдання 1.23

Рівняння

Розв’яжіть рівняння $4 x (2 x - 7) + 3 x (5 - 2 x) = 2 x^{2} + 39$ .

Розв’язання

$8 x^{2} - 28 x + 15 x - 6 x^{2} = 2 x^{2} + 39$ .
$2 x^{2} - 13 x = 2 x^{2} + 39$ .
$- 13 x = 39$ , $x = - 3$ .
Перевірка: $4 \cdot (- 3) \cdot (- 13) + 3 \cdot (- 3) \cdot 11 = 156 - 99 = 57$ і $2 \cdot 9 + 39 = 57$ .

Відповідь:

$x = - 3$ .

Завдання 1.24

Скоротити дріб

Скоротіть: $\frac{7}{14}$ ; $\frac{25}{35}$ ; $\frac{12}{18}$ ; $\frac{30}{45}$ ; $\frac{36}{48}$ ; $\frac{51}{85}$ .

Розв’язання

1) $: 7$ — $\frac{1}{2}$ ; 2) $: 5$ — $\frac{5}{7}$ ; 3) $: 6$ — $\frac{2}{3}$ .
4) $: 15$ — $\frac{2}{3}$ ; 5) $: 12$ — $\frac{3}{4}$ ; 6) $: 17$ — $\frac{3}{5}$ .

Відповідь:

$\frac{1}{2}$ ; $\frac{5}{7}$ ; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $\frac{3}{5}$ .

Завдання 1.25

Звести дріб до знаменника

Зведіть: 1) $\frac{1}{8}$ до знаменника 24; 2) $\frac{2}{7}$ до 28; 3) $\frac{4}{15}$ до 30; 4) $\frac{8}{9}$ до 63.

Розв’язання

1) $24 : 8 = 3$ : $\frac{3}{24}$ .
2) $28 : 7 = 4$ : $\frac{8}{28}$ .
3) $30 : 15 = 2$ : $\frac{8}{30}$ .
4) $63 : 9 = 7$ : $\frac{56}{63}$ .

Відповідь:

1) $\frac{3}{24}$ ; 2) $\frac{8}{28}$ ; 3) $\frac{8}{30}$ ; 4) $\frac{56}{63}$ .

Завдання 1.26

Подати у вигляді степеня

1) $m^{3} m^{4}$ ; 2) $p p^{7}$ ; 3) $x^{9} : x^{3}$ ; 4) $(a^{3})^{7}$ ; 5) $b^{2} \cdot (b^{3})^{4}$ ; 6) $(c^{4})^{5} : c^{12}$ .

Розв’язання

1) $m^{7}$ ; 2) $p^{8}$ ; 3) $x^{6}$ .
4) $a^{21}$ ; 5) $b^{2} \cdot b^{12} = b^{14}$ ; 6) $c^{20} : c^{12} = c^{8}$ .

Відповідь:

1) $m^{7}$ ; 2) $p^{8}$ ; 3) $x^{6}$ ; 4) $a^{21}$ ; 5) $b^{14}$ ; 6) $c^{8}$ .

Завдання 1.27

Невідомий множник-одночлен

На який вираз треба помножити $2 a^{2} b$ , щоб отримати: 1) $2 a^{3} b$ ; 2) $2 a^{2} b^{4}$ ; 3) $4 a^{5} b$ ; 4) $16 a^{4} b^{3}$ ?

Розв’язання

1) $2 a^{3} b : 2 a^{2} b = a$ .
2) $2 a^{2} b^{4} : 2 a^{2} b = b^{3}$ .
3) $4 a^{5} b : 2 a^{2} b = 2 a^{3}$ .
4) $16 a^{4} b^{3} : 2 a^{2} b = 8 a^{2} b^{2}$ .

Відповідь:

1) $a$ ; 2) $b^{3}$ ; 3) $2 a^{3}$ ; 4) $8 a^{2} b^{2}$ .

Завдання 1.28

Розкласти на множники

1) $ab - b^{2}$ ; 2) $m^{7} + m^{5}$ ; 3) $8 m^{2} - 4 mn$ ; 4) $6 a^{3} b - 15 a^{2} b^{2}$ ; 5) $x^{2} + 6 x + 9$ ; 6) $c^{2} - 10 c + 25$ ; 7) $x^{2} - 25$ ; 8) $p^{4} - 49 m^{2}$ ; 9) $a^{2} + ab + 7 a + 7 b$ .

Розв’язання

1) $b (a - b)$ ; 2) $m^{5} (m^{2} + 1)$ ; 3) $4 m (2 m - n)$ ; 4) $3 a^{2} b (2 a - 5 b)$ .
5) $(x + 3)^{2}$ ; 6) $(c - 5)^{2}$ .
7) $(x - 5) (x + 5)$ ; 8) $(p^{2} - 7 m) (p^{2} + 7 m)$ .
9) $a (a + b) + 7 (a + b) = (a + b) (a + 7)$ .

Відповідь:

1) $b (a - b)$ ; 2) $m^{5} (m^{2} + 1)$ ; 3) $4 m (2 m - n)$ ; 4) $3 a^{2} b (2 a - 5 b)$ ; 5) $(x + 3)^{2}$ ; 6) $(c - 5)^{2}$ ; 7) $(x - 5) (x + 5)$ ; 8) $(p^{2} - 7 m) (p^{2} + 7 m)$ ; 9) $(a + b) (a + 7)$ .

Завдання 1.29

Велосипед на роботу й назад

Зранку лікарка їде на роботу 15 хв зі швидкістю 12 км/год, а назад — зі швидкістю 10 км/год. Скільки часу триває дорога додому?

Розв’язання

Відстань: $12 \cdot \frac{1}{4} = 3$ км.
Дорога назад: $\frac{3}{10}$ год $= 0, 3 \cdot 60 = 18$ хв.

Відповідь:

18 хв.

Завдання 1.30

Число = добуток цифр + сума цифр

Скільки двоцифрових чисел дорівнюють сумі добутку й суми своїх цифр?

Розв’язання

$10 a + b = ab + a + b$ .
$9 a = ab$ , а оскільки $a \neq = 0$ , то $b = 9$ .
Підходять 19, 29, 39, …, 99 — дев’ять чисел. Перевірка: $19 = 1 \cdot 9 + 1 + 9$ .

Відповідь:

9 чисел (19, 29, …, 99).