ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 96

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 7.56–7.61 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Правильні многокутники

Завдання 7.56

Дуга годинника

1) Довжина маленької стрілки $r_{1} = 1, 7$ м. Знайти довжину дуги за 2 години.
2) Довжина великої стрілки $r_{2} = 2, 15$ м. Знайти час проходження дуги довжиною $l = 4, 5$ м.

Розв’язання

Маленька стрілка за 2 години описує $\frac{36 0 ^{\circ}}{12 год} \cdot 2 = 6 0^{\circ}$ . Довжина дуги $l_{1} = \frac{60}{360} \cdot 2 π \cdot 1, 7 = \frac{1}{6} \cdot 2 π \cdot 1, 7 \approx 1, 78$ м.
Довжина дуги $l = r \cdot α_{рад}$ або $l = \frac{α ^{\circ}}{360} \cdot 2 π r$ . Знайдемо кут $α$ : $α = \frac{4 , 5 \cdot 360}{2 π \cdot 2 , 15} \approx 300, 8^{\circ}$ . Час $t = \frac{300 , 8}{6} \approx 50$ хвилин.

Відповідь:

1) $1, 78$ м; 2) $50$ хв.

Завдання 7.57

Заміна труб

Дві труби мають внутрішні діаметри $d_{1} = 30$ см і $d_{2} = 40$ см. Потрібно знайти діаметр $D$ однієї труби, яка має таку ж пропускну здатність (сумарний потік води).

Розв’язання

Запишемо рівність площ: $S_{1} + S_{2} = S_{нова} \Rightarrow \frac{π ( 30 ) ^{2}}{4} + \frac{π ( 40 ) ^{2}}{4} = \frac{π D ^{2}}{4}$ .
Спростимо, поділивши на $\frac{π}{4}$ : $3 0^{2} + 4 0^{2} = D^{2} \Rightarrow 900 + 1600 = D^{2} \Rightarrow 2500 = D^{2}$ .
Знайдемо корінь: $D = 2500 = 50$ см.

Відповідь:

$50$ см.

Завдання 7.58

Вирізання шестикутника

З круга вирізано правильний шестикутник найбільшої площі. Потрібно знайти відсоток жерсті, що пішов у відходи.

Розв’язання

Площа круга $S_{круг} = π R^{2}$ .
Площа правильного шестикутника, вписаного в коло радіуса $R$ , дорівнює сумі площ 6 рівносторонніх трикутників зі стороною $R$ : $S_{шес} = 6 \cdot \frac{3}{4} R^{2} = \frac{3 3}{2} R^{2}$ .
Коефіцієнт використання: $\frac{S _{шес}}{S _{круг}} = \frac{\frac{3 3}{2} R ^{2}}{π R ^{2}} = \frac{3 3}{2 π}$ .
Обчислимо числове значення: $\frac{3 \cdot 1 , 732}{2 \cdot 3 , 1416} \approx \frac{5 , 196}{6 , 283} \approx 0, 827$ . Це $82, 7%$ .
Відходи: $100% - 82, 7% = 17, 3%$ .

Відповідь:

$17, 3%$ .

Завдання 7.59

Сторона ромба за висотою та кутом

Знайти сторону ромба, якщо його висота $h = 6 см$ , а кут між стороною ромба та однією з діагоналей дорівнює $1 5^{\circ}$ .

Розв’язання

Нехай $A B C D$ — ромб, $h$ — висота, проведена до сторони $B C$ . Кут між стороною $B C$ та діагоналлю $A C$ дорівнює $1 5^{\circ}$ . Оскільки діагональ є бісектрисою кута $C$ , то сам кут $C$ дорівнює $2 \cdot 1 5^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .
Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою, стороною ромба та проекцією висоти на сторону (або просто розглянемо кут між діагоналлю і стороною). У прямокутному трикутнику з гострим кутом $1 5^{\circ}$ гіпотенуза дорівнює стороні ромба $a$ , а катет, що лежить проти цього кута (якщо розглядати висоту як катет), пов'язаний із стороною. Простіше: у прямокутному трикутнику з гострим кутом $1 5^{\circ}$ та прилеглим катетом, що є частиною діагоналі, гіпотенуза — це сторона ромба. Але найпростіше використати властивість синуса: $sin (3 0^{\circ}) = \frac{h}{a}$ ? Ні, висота опущена на сторону, тому в прямокутному трикутнику з кутами $9 0^{\circ}$ , $1 5^{\circ}$ та $7 5^{\circ}$ гіпотенуза — це сторона ромба $a$ , а протилежний катет — це висота $h$ .
Записуємо рівність: $sin 3 0^{\circ} = \frac{h}{a}$ . Знаємо, що $sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ . Підставляємо значення: $0, 5 = \frac{6}{a}$ .
Знаходимо $a$ : $a = \frac{6}{0 , 5} = 12 см$ .

Відповідь:

Сторона ромба дорівнює $12 см$ .

Завдання 7.60

Бісектриса прямокутника і діагональ

У прямокутнику $A B C D$ бісектриса кута $A$ ділить сторону $B C$ на відрізки $B M = 10 см$ та $M C = 14 см$ . Знайти, на які відрізки ця бісектриса ділить діагональ.

Розв’язання

Сторона $B C = B M + M C = 10 см + 14 см = 24 см$ . Оскільки $A B C D$ — прямокутник, $A D = B C = 24 см$ , а $A B = C D$ .
Розглянемо трикутник $A B M$ . Кут $B A M = 4 5^{\circ}$ , кут $A B M = 9 0^{\circ}$ , отже, кут $A M B = 4 5^{\circ}$ . Трикутник $A B M$ рівнобедрений, тому $A B = B M = 10 см$ .
Знайдемо діагональ $A C$ за теоремою Піфагора: $A C = A B^{2} + B C^{2} = 1 0^{2} + 2 4^{2} = 100 + 576 = 676 = 26 см$ .
Нехай бісектриса $A M$ перетинає діагональ $B D$ у точці $K$ . Хоча в умові не сказано про перетин, зазвичай питають про ділення діагоналі, що проходить через вершину кута. Умова каже: "На відрізки якої довжини ця бісектриса ділить діагональ прямокутника?". Це означає перетин $A M$ з діагоналлю $B D$ . Розглянемо трикутник $A B D$ . Прямий кут при $B$ . Бісектриса $A K$ (де $K$ на $B D$ ). Використаємо властивість бісектриси в трикутнику $A B D$ : $\frac{B K}{K D} = \frac{A B}{A D} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ .
Знайдемо довжину діагоналі $B D$ (вона дорівнює $A C = 26 см$ ). Тоді $B K + K D = 26$ . З пропорції $\frac{B K}{K D} = \frac{5}{12}$ маємо $B K = \frac{5}{17} \cdot 26$ та $K D = \frac{12}{17} \cdot 26$ .
Обчислюємо: $B K = \frac{130}{17} \approx 7, 65 см$ , $K D = \frac{312}{17} \approx 18, 35 см$ .

Відповідь:

Бісектриса ділить діагональ на відрізки довжиною $\frac{130}{17} см$ ( $\approx 7, 65 см$ ) та $\frac{312}{17} см$ ( $\approx 18, 35 см$ ).

Завдання 7.61

Властивість трапеції з кутом при основі

Сума кутів при більшій основі трапеції дорівнює $9 0^{\circ}$ . Треба довести, що відстань між серединами основ трапеції дорівнює піврізниці цих основ.

Розв’язання

Позначимо трапецію як $A B C D$ , де $A D$ — більша основа, а $B C$ — менша. Нехай точки $M$ і $N$ — середини основ $A D$ і $B C$ відповідно.
Проведемо пряму через точку $M$ паралельно бічній стороні $A B$ , яка перетне сторону $C D$ у точці $K$ .
Оскільки сума кутів при основі $A D$ дорівнює $9 0^{\circ}$ , то кути між проведеними прямими та основами також пов'язані з цим значенням, що дозволяє використати властивості рівнобедрених трикутників або прямокутних трикутників для встановлення співвідношення між сторонами.
Використовуючи теорему про середню лінію трикутника та властивості паралельних прямих, можна показати, що $M N = \frac{1}{2} (A D - B C)$ .

Відповідь:

Відстань між серединами основ дорівнює $\frac{1}{2} (A D - B C)$ , що й треба було довести.