Сторінка 95

Розв’язання

1. Розглянемо один «листочок». Його площа дорівнює сумі площ двох секторів (по $\frac{1}{4}$ кола радіуса $a$) мінус площа квадрата зі стороною $a$. Площа сектора дорівнює $\frac{1}{4}\pi a^2$. Сума площ двох секторів: $2\cdot \frac{1}{4}\pi a^2=\frac{\pi a^2}{2}$.

2. Площа квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a^2$.

3. Площа одного «листочка»: $\frac{\pi a^2}{2}-a^2$.

4. Загальна площа розетки (чотири «листочки»): $4\cdot (\frac{\pi a^2}{2}-a^2)=2\pi a^2-4a^2=2a^2(\pi -2)$.

Розв’язання

1. Розглянемо одну з чотирьох однакових дуг, що входять до складу червоної лінії. Її центром є вершина квадрата (наприклад, точка $B$), а радіусом — довжина сторони квадрата $R=a$.

2. Центральному куту цієї дуги відповідає сторона квадрата $ABCD$, тому його градусна міра $n=90^{\circ }$.

3. Знайдемо довжину однієї дуги: $l_1=\frac{90^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi a=\frac{1}{4}\cdot 2\pi a=\frac{\pi a}{2}$.

4. Оскільки фігура симетрична, червона лінія складається з чотирьох таких однакових дуг. Загальна довжина $L=4\cdot l_1$.

Розв’язання

1. Площа квадрата зі стороною $1\text{см}$ дорівнює $S_{\text{квад}}=1^2=1{\text{см}}^2$. Радіус кола $R=1\text{см}$.

2. Площа сектора (четверть кола) з радіусом $1\text{см}$: $S_{\text{сек}}=\frac{\pi \cdot 1^2}{4}=\frac{\pi }{4}{\text{см}}^2$.

3. Площа прямокутного трикутника, утвореного двома радіусами та стороною квадрата: $S_{\text{три}}=\frac{1\cdot 1}{2}=0,5{\text{см}}^2$.

4. Площа одного сегмента: $S_{\text{сег}}=S_{\text{сек}}-S_{\text{три}}=\frac{\pi }{4}-0,5$.

5. Загальна площа спільної частини (4 сегменти): $S_{\text{заг}}=4\cdot (\frac{\pi }{4}-0,5)=\pi -2$.

6. Оцінимо значення $\pi \approx 3,14$, тоді $S_{\text{заг}}\approx 3,14-2=1,14{\text{см}}^2$.

7. Порівнюємо: $1,14>0,75$ (оскільки $\frac{3}{4}=0,75$).

Розв’язання

1. Знайдемо радіус $R$ за формулою $C=2\pi R$: $R=\frac{125,6}{2\cdot 3,14}=\frac{125,6}{6,28}=20$ см.

2. Обчислимо площу круга за формулою $S=\pi R^2$: $S=3,14\cdot (20{)}^2=3,14\cdot 400=1256$ см${}^2$.

Розв’язання

1. Переведемо довжину екватора в кілометри: $40000000\text{м}=40000\text{км}$.

2. Знайдемо радіус за формулою $R=\frac{C}{2\pi }$: $R=\frac{40000}{2\cdot 3,14}=\frac{40000}{6,28}\approx 6369,27$ км.

Розв’язання

1. Знайдемо радіуси: для великого млинця $R_1=15$ см, для малого $R_2=10$ см.

2. Площа одного великого млинця: $S_1=\pi \cdot (15{)}^2=225\pi$.

3. Сума площ двох малих млинців: $S_{\text{дв}}=2\cdot (\pi \cdot (10{)}^2)=2\cdot 100\pi =200\pi$.

4. Порівнюємо: $225\pi >200\pi$, отже, один великий млинець містить більше їжі.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину всього кола (екватора): $C=2\pi \cdot 6400\text{км}=12800\pi \text{км}$.

2. Оскільки повне коло складається з $360^{\circ }$, довжина дуги в $1^{\circ }$ дорівнює $\frac{1}{360}$ від загальної довжини: $l=\frac{12800\pi }{360}\text{км}$.

3. Спростимо дріб і підставимо значення $\pi \approx 3,14$: $l=\frac{128\pi }{3,6}\approx \frac{128\cdot 3,14}{3,6}\approx \frac{401,92}{3,6}\approx 111,6\text{км}$.

Розв’язання

1. Знайдемо довжину кола (відстань за один оберт): $C=\pi d=3,14\cdot 65\text{см}=204,1\text{см}$.

2. Відстань, яку проходить автомобіль за одну секунду: $S_{\text{сек}}=6\cdot 204,1\text{см}=1224,6\text{см}$.

3. Переведемо сантиметри в метри ($1\text{м}=100\text{см}$) і знайдемо відстань за годину: $S_{\text{год}}=1224,6\text{см}\cdot 3600=4408560\text{см}=44085,6\text{м}$.

4. Переведемо метри в кілометри ($1\text{км}=1000\text{м}$): $V=\frac{44085,6}{1000}=44,0856\text{км/год}$.

5. Округлимо результат до десятих: $44,1\text{км/год}$.