Сторінка 92

Розв’язання

1. Випадок а: Зафарбована частина — це квадрат з віднятим сектором $90^{\circ }$ (верхній) та доданим сектором $90^{\circ }$ (нижній). Оскільки площа сектора $90^{\circ }$ дорівнює площі квадрата зі стороною $\frac{a}{2}$, то вирази скорочуються. Площа зафарбованої фігури дорівнює площі квадрата зі стороною $a$, тобто $S=a^2$.

2. Випадок б: Зафарбована частина — це квадрат з віднятим чотирма секторами по $90^{\circ }$ (кожен радіусом $\frac{a}{2}$). Площа одного сектора дорівнює площі квадрата зі стороною $\frac{a}{2}$. Чотири такі сектори утворюють повне коло радіуса $\frac{a}{2}$. Площа зафарбованої фігури: $S=a^2-4\cdot \frac{\pi (\frac{a}{2}{)}^2}{4}=a^2-\frac{\pi a^2}{4}$.

3. Випадок в: Зафарбована частина — це півколо радіуса $\frac{a}{2}$ з віднятим двома півколами радіусом $\frac{a}{4}$. Площа півкола радіуса $R$ дорівнює $\frac{\pi R^2}{2}$. Площа зафарбованої фігури: $S=\frac{\pi (\frac{a}{2}{)}^2}{2}-2\cdot \frac{\pi (\frac{a}{4}{)}^2}{2}=\frac{\pi a^2}{8}-\frac{\pi a^2}{16}=\frac{\pi a^2}{16}$.

Розв’язання

1. Випадок а): Великий квадрат має сторону $6a$ (по 6 клітинок). Площа квадрата $S_{\text{кв}}=(6a{)}^2=36a^2$. Кожне коло вписане у квадрат зі стороною $2a$, отже, діаметр кола $d=2a$, радіус $r=a$. Площа одного кола $S_{\text{кр}}=\pi a^2$. Чотири такі кола: $4\pi a^2$. Площа зафарбованої фігури: $S=36a^2-4\pi a^2$.

2. Випадок б): Велике коло має діаметр $8a$ (по 8 клітинок), отже радіус $R=4a$. Площа кола $S_{\text{кр}}=\pi (4a{)}^2=16\pi a^2$. Треба відняти площу внутрішніх фігур: трикутник (основа $2a$, висота $2a$) має площу $\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$; два квадрати зі стороною $a$ мають сумарну площу $2a^2$; прямокутник зі сторонами $2a$ і $3a$ має площу $6a^2$. Сума віднімається: $16\pi a^2-(2a^2+2a^2+6a^2)=16\pi a^2-10a^2$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу довжини дуги: $l=\frac{27}{360}\cdot 2\pi R$.

2. Спростимо дріб $\frac{27}{360}$, поділивши чисельник і знаменник на 9: $\frac{3}{40}$. Отже, $l=\frac{3}{40}\cdot 2\pi R=\frac{3\pi R}{20}$.

3. Підставимо значення $l=12\pi$: $12\pi =\frac{3\pi R}{20}$. Поділимо обидві частини на $\pi$: $12=\frac{3R}{20}$. Помножимо на 20: $240=3R$. Поділимо на 3: $R=80$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу зв'язку між довжиною дуги, радіусом та кутом: $l=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi R$.

2. Підставимо дані з умови ($R=24$, $l=3\pi$) у рівняння: $3\pi =\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 24$.

3. Спростимо рівняння, скоротивши обидві частини на $\pi$: $3=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 48$.

4. Поділимо обидві частини на 48: $3=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 48\Rightarrow \frac{3}{48}=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\Rightarrow \frac{1}{16}=\frac{\alpha }{360^{\circ }}$.

5. Знайдемо $\alpha$: $\alpha =\frac{360^{\circ }}{16}=22,5^{\circ }$.

Розв’язання

1. Перший рядок: $R=20\text{см}$, $n=160^{\circ }$. Знайдемо $l$:
   $l=\frac{160\cdot \pi \cdot 20}{180}=\frac{3200\pi }{180}=\frac{160\pi }{9}\text{см}$.

2. Другий рядок: $n=40^{\circ }$, $l=16\pi \text{см}$. Знайдемо $R$:
   $16\pi =\frac{40\cdot \pi \cdot R}{180}$. Скоротимо на $\pi$ і помножимо на 180: $16\cdot 180=40R\Rightarrow 2880=40R\Rightarrow R=72\text{см}$.

3. Третій рядок: $R=15\text{см}$, $l=3\pi \text{см}$. Знайдемо $n$:
   $3\pi =\frac{n\cdot \pi \cdot 15}{180}$. Скоротимо на $\pi$ і помножимо на 180: $3\cdot 180=15n\Rightarrow 540=15n\Rightarrow n=36^{\circ }$.