Сторінка 93

Розв’язання

1. Площа всього круга відповідає $360^{\circ }$. Площа сектора — це частка від площі круга, яка дорівнює $\frac{5}{8}$.

2. Оскільки площа пропорційна куту, градусна міра дуги також буде дорівнювати $\frac{5}{8}$ від $360^{\circ }$.

3. Обчислюємо: $\frac{5}{8}\cdot 360=5\cdot 45=225$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для площі сектора: $6\pi =\frac{n}{360}\cdot \pi \cdot 12^2$.

2. Скоротимо $\pi$ на обох сторонах рівняння та розкриємо дужки: $6=\frac{n}{360}\cdot 144$.

3. Знайдемо $n$: спочатку поділимо $144$ на $6$, отримавши $24$, а потім дізнаємося, що $\frac{24n}{360}=1$. Звідси $n=\frac{360}{24}=15$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу: $\frac{5\pi }{4}=\frac{75}{360}\cdot \pi R^2$.

2. Скоротимо $\pi$ і дробову частину кута ($\frac{75}{360}$ скорочується на $15$, стає $\frac{5}{24}$): $\frac{5}{4}=\frac{5}{24}{R}^2$.

3. Поділимо обидві частини на $\frac{5}{4}$ (або помножимо на $\frac{4}{5}$): $1=\frac{1}{6}{R}^2$. Звідси $R^2=6$, отже $R=\sqrt{6}$.

Розв’язання

1. Знайдемо загальну площу круга: $S_{\text{круг}}=\pi R^2=25\pi {\text{см}}^2$.

2. Для пункту 1 ($n=45^{\circ }$):
   Площа сектора: $S_{\text{сек}}=\frac{45}{360}\cdot 25\pi =\frac{1}{8}\cdot 25\pi =3,125\pi {\text{см}}^2$.
   Площа трикутника: $S_{△}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 45^{\circ }=12,5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 8,84{\text{см}}^2$.
   Площа сегмента: $S_{\text{сег}}\approx 3,125\pi -8,84\approx 9,82-8,84=0,98{\text{см}}^2$.

3. Для пункту 2 ($n=150^{\circ }$):
   Площа сектора: $S_{\text{сек}}=\frac{150}{360}\cdot 25\pi =\frac{5}{12}\cdot 25\pi =\frac{125}{12}\pi \approx 32,72{\text{см}}^2$.
   Площа трикутника: $S_{△}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 150^{\circ }=12,5\cdot 0,5=6,25{\text{см}}^2$.
   Площа сегмента: $S_{\text{сег}}\approx 32,72-6,25=26,47{\text{см}}^2$.

4. Для пункту 3 ($n=330^{\circ }$):
   Площа сектора: $S_{\text{сек}}=\frac{330}{360}\cdot 25\pi =\frac{11}{12}\cdot 25\pi =\frac{275}{12}\pi \approx 72,43{\text{см}}^2$.
   Площа трикутника: $S_{△}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 330^{\circ }=12,5\cdot (-0,5)=-6,25$ (площу беремо за модулем: $6,25{\text{см}}^2$).
   Площа сегмента: $S_{\text{сег}}\approx 72,43-6,25=66,18{\text{см}}^2$.

Розв’язання

1. Площа круга: $S_{\text{круг}}=\pi R^2=4\pi {\text{см}}^2$.

2. Для пункту 1 ($n=60^{\circ }$):
   Площа сектора: $S_{\text{сек}}=\frac{60}{360}\cdot 4\pi =\frac{1}{6}\cdot 4\pi =\frac{2}{3}\pi {\text{см}}^2$.
   Площа трикутника: $S_{△}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{\text{см}}^2$.
   Площа сегмента: $S_{\text{сег}}=\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3}\approx 2,09-1,73=0,36{\text{см}}^2$.

3. Для пункту 2 ($n=300^{\circ }$):
   Площа сектора: $S_{\text{сек}}=\frac{300}{360}\cdot 4\pi =\frac{5}{6}\cdot 4\pi =\frac{10}{3}\pi {\text{см}}^2$.
   Площа трикутника: $S_{△}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot |\sin 300^{\circ }|=2\cdot |-0,5\sqrt{3}|=\sqrt{3}{\text{см}}^2$.
   Площа сегмента: $S_{\text{сег}}=\frac{10}{3}\pi -\sqrt{3}\approx 10,47-1,73=8,74{\text{см}}^2$.

Розв’язання

1. Площа півкруга на катеті $a$: $S_a=\frac{\pi a^2}{2}$.

2. Площа півкруга на катеті $b$: $S_b=\frac{\pi b^2}{2}$.

3. Сума площ півкругів на катетах: $S_a+S_b=\frac{\pi a^2}{2}+\frac{\pi b^2}{2}=\frac{\pi }{2}(a^2+b^2)$.

4. Оскільки в прямокутному трикутнику $c^2=a^2+b^2$ (де $c$ — гіпотенуза), то сума дорівнює $\frac{\pi c^2}{2}$.

5. Площа півкруга на гіпотенузі: $S_c=\frac{\pi c^2}{2}$. Отже, $S_a+S_b=S_c$.

Розв’язання

1. Оскільки квадрат вписано в коло, його діагональ дорівнює діаметру кола. Діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a\sqrt{2}$. Отже, радіус кола $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Центр кута сектора лежить у центрі квадрата, а його вершина — в центрі кола. Кут сектора дорівнює $90^{\circ }$ (кут квадрата). Площа сектора: $\frac{90}{360}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{\pi a^2}{8}$.

3. Площа трикутника, утвореного радіусами та стороною квадрата: $\frac{1}{2}{R}^2\sin 90^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot 1=\frac{a^2}{4}$.

4. Площа сегмента: $S=\frac{\pi a^2}{8}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2(\pi -2)}{8}$.

Розв’язання

1. Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною $a$, дорівнює $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$.

2. Кут сектора, що відповідає одній стороні трикутника, дорівнює $\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$. Площа такого сектора: $\frac{120}{360}\pi R^2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{\pi a^2}{9}$.

3. Площа трикутника, утвореного радіусами та стороною $a$: $\frac{1}{2}{R}^2\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.

4. Площа сегмента: $S=\frac{\pi a^2}{9}-\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=a^2\left(\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{36}\right)$.

Розв’язання

1. Третій кут $\alpha =180^{\circ }-(50^{\circ }+100^{\circ })=30^{\circ }$.

2. Радіус описаного кола: $R=\frac{6}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{2\cdot 0,5}=6$ см.

3. Центральні кути дуг: ${\alpha }_1=50^{\circ }+100^{\circ }=150^{\circ }$, ${\alpha }_2=50^{\circ }+30^{\circ }=80^{\circ }$, ${\alpha }_3=100^{\circ }+30^{\circ }=130^{\circ }$.

4. Довжини дуг: $l_1=\frac{150}{360}\cdot 2\pi \cdot 6=\frac{5}{6}\cdot 12\pi =10\pi$ см; $l_2=\frac{80}{360}\cdot 12\pi =\frac{2}{9}\cdot 12\pi =\frac{8\pi }{3}$ см; $l_3=\frac{130}{360}\cdot 12\pi =\frac{13}{36}\cdot 12\pi =\frac{13\pi }{3}$ см.