ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 90

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 7.18–7.27 · 10 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Правильні многокутники

Завдання 7.18

Довжина дуги кола

Радіус кола $R = 8 см$ . Знайти довжину дуги, градусна міра якої: 1) $4^{\circ}$ ; 2) $32 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Запишемо загальну формулу для обчислення довжини дуги: $l = \frac{n}{380} \cdot 2 π R$ .
Для пункту 1) підставимо $R = 8$ і $n = 4$ : $l_{1} = \frac{4}{360} \cdot 2 π \cdot 8 = \frac{1}{90} \cdot 16 π = \frac{16 π}{90} = \frac{8 π}{45} (см)$ .
Для пункту 2) підставимо $R = 8$ і $n = 320$ : $l_{2} = \frac{320}{360} \cdot 2 π \cdot 8 = \frac{8}{9} \cdot 16 π = \frac{128 π}{9} (см)$ .

Відповідь:

$\frac{8 π}{45} см$ , $\frac{128 π}{9} см$ .

Завдання 7.19

Довжина дуги кола

Радіус кола $R = 6 см$ . Знайти довжину дуги, градусна міра якої: 1) $4 8^{\circ}$ ; 2) $21 6^{\circ}$ .

Розв’язання

Запишемо формулу: $l = \frac{n}{360} \cdot 2 π R$ .
Для пункту 1) підставимо $R = 6$ і $n = 48$ : $l_{1} = \frac{48}{360} \cdot 2 π \cdot 6 = \frac{2}{15} \cdot 12 π = \frac{24 π}{15} = \frac{8 π}{5} (см)$ .
Для пункту 2) підставимо $R = 6$ і $n = 216$ : $l_{2} = \frac{216}{360} \cdot 2 π \cdot 6 = \frac{3}{5} \cdot 12 π = \frac{36 π}{5} (см)$ .

Відповідь:

$\frac{8 π}{5} см$ , $\frac{36 π}{5} см$ .

Завдання 7.20

Сегмент чи сектор?

Розглянути рисунок 7.9 та визначити, у якому випадку зафарбована фігура є сектором, а в якому — сегментом.

Розв’язання

Аналізуємо малюнок а): Фігура обмежена хордою та дугою, не проходить через центр кола. Це сегмент.
Аналізуємо малюнок б): Фігура обмежена двома радіусами (променями з центру) та дугою. Це сектор.
Аналізуємо малюнок в): Фігура обмежена хордою та дугою, не проходить через центр кола. Це сегмент.
Аналізуємо малюнок г): Фігура обмежена двома радіусами (променями з центру) та дугою. Це сектор.

Відповідь:

Сектор — у випадках б і г; Сегмент — у випадках а і в.

Завдання 7.21

Порівняння сектору і сегмента

Чи може круговий сектор бути одночасно круговим сегментом? Обговоріть це питання у класі.

Розв’язання

Сектор має дві прямі сторони (радіуси), що сходяться в центрі кола.
Сегмент має одну пряму сторону (хорду) та одну криву (дугу).
Оскільки складання меж у цих фігур різне, одна й та сама фігура не може бути одночасно і сектором, і сегментом.

Відповідь:

Ні, круговий сектор не може бути його сегментом, оскільки вони обмежені різними лініями (сектор — радіусами, сегмент — хордою).

Завдання 7.22

Площа сектора круга

Радіус круга $R = 6 см$ . Знайти площу сектора, якщо градусна міра його дуги дорівнює:
1) $1 5^{\circ}$ ;
2) $28 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Знайдемо площу всього круга: $S_{круг} = π \cdot 6^{2} = 36 π см^{2}$ .
Для пункту 1 ( $n = 1 5^{\circ}$ ): знайдемо частку $\frac{15}{360}$ і помножимо на $36 π$ .
$\frac{15}{360} = \frac{1}{24}$ .
$S_{сект} = \frac{1}{24} \cdot 36 π = \frac{36}{24} π = 1, 5 π см^{2}$ .
Для пункту 2 ( $n = 28 0^{\circ}$ ): знайдемо частку $\frac{280}{360}$ і помножимо на $36 π$ .
$\frac{280}{360} = \frac{7}{9}$ .
$S_{сект} = \frac{7}{9} \cdot 36 π = 7 \cdot 4 π = 28 π см^{2}$ .

Відповідь:

1) $1, 5 π см^{2}$ ; 2) $28 π см^{2}$ .

Завдання 7.23

Площа сектора за радіусом та кутом дуги

Радіус круга $R = 10 см$ . Знайти площу сектора, якщо градусна міра його дуги становить: 1) $7 0^{\circ}$ ; 2) $30 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Знайдемо повну площу круга: $S_{круг} = π R^{2} = π \cdot 1 0^{2} = 100 π см^{2}$ .
Для пункту 1) ( $n = 7 0^{\circ}$ ): $S_{1} = \frac{70}{360} \cdot 100 π = \frac{7}{36} \cdot 100 π = \frac{350 π}{9} см^{2}$ .
Для пункту 2) ( $n = 30 0^{\circ}$ ): $S_{2} = \frac{300}{360} \cdot 100 π = \frac{5}{6} \cdot 100 π = \frac{500 π}{6} = \frac{250 π}{3} см^{2}$ .

Відповідь:

1) $\frac{350 π}{9} см^{2}$ ; 2) $\frac{250 π}{3} см^{2}$ .

Завдання 7.24

Площа кола, описаного навколо прямокутника

Знайти площу круга, описаного навколо прямокутника зі сторонами $a$ і $b$ .

Розв’язання

Діагональ прямокутника (яка є діаметром описаного кола) знаходимо за теоремою Піфагора: $d = a^{2} + b^{2}$ .
Радіус кола дорівнює половині діагоналі: $R = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}$ .
Площа круга обчислюємо за формулою: $S = π R^{2} = π (\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2})^{2} = \frac{π ( a ^{2} + b ^{2} )}{4}$ .

Відповідь:

$\frac{π ( a ^{2} + b ^{2} )}{4}$

Завдання 7.25

Площа кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника

Знайти площу круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника з бічною стороною $b$ і кутом $α$ при основі.

Розв’язання

Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює $γ = 18 0^{\circ} - 2 α$ .
Радіус описаного кола знаходимо за формулою $R = \frac{b}{2 sin γ} = \frac{b}{2 sin ( 18 0 ^{\circ} - 2 α )}$ . Оскільки $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ , то $R = \frac{b}{2 sin 2 α}$ .
Площа круга дорівнює $S = π R^{2} = π (\frac{b}{2 sin 2 α})^{2} = \frac{π b ^{2}}{4 sin ^{2} 2 α}$ .

Відповідь:

$\frac{π b ^{2}}{4 sin ^{2} 2 α}$

Завдання 7.26

Довжина кола, описаного навколо прямокутника

Знайти довжину кола, описаного навколо прямокутника зі стороною $a$ і кутом $α$ між даною стороною та діагоналлю прямокутника.

Розв’язання

Нехай $d$ — діагональ прямокутника (діаметр кола). У прямокутному трикутнику $sin α = \frac{a}{d}$ .
Звідси діаметр $d = \frac{a}{sin α}$ .
Довжина кола обчислюється за формулою $C = π d = π \cdot \frac{a}{sin α} = \frac{π a}{sin α}$ .

Відповідь:

$\frac{π a}{sin α}$

Завдання 7.27

Довжина складної лінії з півколог

Обчислити довжину червоної лінії на Рисунку 7.10 (а). Лінія складається з прямокутника зі сторонами $a$ і $b$ , до якого прикріплено два півкола, діаметри яких дорівнюють $a$ і $b$ .

Розв’язання

Довжина прямої частини складається з двох сторін $a$ і двох сторін $b$ : $2 a + 2 b$ .
Довжина півкола з діаметром $a$ дорівнює $\frac{1}{2} π a$ , а з діаметром $b$ — $\frac{1}{2} π b$ .
Загальна довжина: $(2 a + 2 b) + \frac{1}{2} π a + \frac{1}{2} π b = (2 + \frac{π}{2}) (a + b)$ .

Відповідь:

$(2 + \frac{π}{2}) (a + b)$