ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 89

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 7.6–7.17 · 12 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Правильні многокутники

Завдання 7.6

Знаходження радіуса за площею

Знайти радіус круга, площа якого дорівнює: 1) $25 π$ см $^{2}$ ; 2) $3 π$ см $^{2}$ .

Розв’язання

Використовуємо формулу $S = π R^{2}$ , звідки $R = \frac{S}{π}$ .
Для першого випадку ( $S = 25 π$ см $^{2}$ ): $R_{1} = \frac{25 π}{π} = 25 = 5$ см.
Для другого випадку ( $S = 3 π$ см $^{2}$ ): $R_{2} = \frac{3 π}{π} = 3$ см.

Відповідь:

1) $5$ см; 2) $3$ см.

Завдання 7.7

Знаходження площі за довжиною кола

Знайти площу круга, довжина якого дорівнює $18 π$ см.

Розв’язання

Знайдемо радіус $R$ із формули довжини кола $C = 2 π R$ : $18 π = 2 π R$ , звідки $R = \frac{18 π}{2 π} = 9$ см.
Обчислимо площу круга за формулою $S = π R^{2}$ : $S = π \cdot 9^{2} = 81 π$ см $^{2}$ .

Відповідь:

$81 π$ см $^{2}$ .

Завдання 7.8

Заповнення таблиці параметрів кола

Заповнити таблицю, де $R$ — радіус, $C$ — довжина кола, $S$ — площа круга. Дано значення для кожного з цих параметрів окремо.

Розв’язання

Перший рядок ( $R = 5$ см): $C = 2 π \cdot 5 = 10 π$ см; $S = π \cdot 5^{2} = 25 π$ см $^{2}$ .
Другий рядок ( $C = 12 π$ см): знаходимо радіус $R = \frac{12 π}{2 π} = 6$ см; площа $S = π \cdot 6^{2} = 36 π$ см $^{2}$ .
Третій рядок ( $S = 16 π$ см $^{2}$ ): знаходимо радіус $R = \frac{16 π}{π} = 16 = 4$ см; довжина кола $C = 2 π \cdot 4 = 8 π$ см.

Відповідь:

Рядок 1: $C = 10 π$ см, $S = 25 π$ см $^{2}$ . Рядок 2: $R = 6$ см, $S = 36 π$ см $^{2}$ . Рядок 3: $R = 4$ см, $C = 8 π$ см.

Завдання 7.9

Зміна довжини кола при зміні радіуса

1) Радіус збільшити вдвічі;
2) Радіус зменшити втричі.

Розв’язання

Оскільки $C = 2 π R$ , то при збільшенні радіуса вдвічі ( $R_{n e w} = 2 R$ ) нова довжина буде $C_{n e w} = 2 π (2 R) = 4 π R = 2 \cdot (2 π R)$ .
При зменшенні радіуса втричі ( $R_{n e w} = \frac{1}{3} R$ ) нова довжина буде $C_{n e w} = 2 π (\frac{1}{3} R) = \frac{1}{3} (2 π R)$ .

Відповідь:

1) Довжина кола збільшиться вдвічі; 2) Довжина кола зменшиться втричі.

Завдання 7.10

Зміна площі круга при зміні радіуса

1) Радіус збільшити в 4 рази;
2) Радіус зменшити в 5 разів.

Розв’язання

Оскільки $S = π R^{2}$ , то при збільшенні радіуса в 4 рази ( $R_{n e w} = 4 R$ ) нова площа буде $S_{n e w} = π (4 R)^{2} = 16 π R^{2} = 16 \cdot (π R^{2})$ .
При зменшенні радіуса в 5 разів ( $R_{n e w} = \frac{1}{5} R$ ) нова площа буде $S_{n e w} = π (\frac{1}{5} R)^{2} = \frac{1}{25} π R^{2}$ .

Відповідь:

1) Площа круга збільшиться в 16 разів; 2) Площа круга зменшиться в 25 разів.

Завдання 7.11

Відношення довжин і площ кіл за відношенням радіусів

Радіуси двох кіл відносяться як $3 : 7$ . Знайти відношення їхніх довжин та площ.

Розв’язання

Оскільки довжина кола $C = 2 π R$ , то відношення довжин дорівнює відношенню радіусів: $\frac{C _{1}}{C _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{3}{7}$ .
Оскільки площа круга $S = π R^{2}$ , то відношення площ дорівнює квадрату відношення радіусів: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{R _{1}^{2}}{R _{2}^{2}} = (\frac{3}{7})^{2} = \frac{9}{49}$ .

Відповідь:

1) Довжини кіл відносяться як $3 : 7$ ; 2) Площі кругів відносяться як $9 : 49$ .

Завдання 7.12

Відношення площ кругів за радіусами

Радіуси двох кругів відносяться як $5 : 8$ . Знайти відношення площ цих кругів.

Розв’язання

Позначимо радіуси кіл як $R_{1} = 5 x$ та $R_{2} = 8 x$ . Відношення радіусів $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{5}{8}$ .
Площа першого круга $S_{1} = π (5 x)^{2} = 25 π x^{2}$ , площа другого $S_{2} = π (8 x)^{2} = 64 π x^{2}$ .
Знайдемо відношення площ: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{25 π x ^{2}}{64 π x ^{2}} = \frac{25}{64}$ .

Відповідь:

Відношення площ дорівнює $25 : 64$ .

Завдання 7.13

Довжина описаного кола навколо трикутника

Знайти довжину кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною $a$ .

Розв’язання

Знайдемо радіус описаного кола для правильного трикутника: $R = \frac{a}{3}$ .
Підставимо радіус у формулу довжини кола: $C = 2 π \cdot \frac{a}{3}$ .
Спростимо вираз, помноживши чисельник і знаменник на $3$ : $C = \frac{2 π a 3}{3}$ .

Відповідь:

Довжина кола дорівнює $\frac{2 π a 3}{3}$ .

Завдання 7.14

Довжина вписаного кола у квадрат

Знайти довжину кола, вписаного у квадрат зі стороною $a$ .

Розв’язання

Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата: $R = \frac{a}{2}$ .
Підставимо радіус у формулу довжини кола: $C = 2 π \cdot \frac{a}{2}$ .
Спростимо вираз, скоротивши на 2: $C = π a$ .

Відповідь:

Довжина кола дорівнює $π a$ .

Завдання 7.15

Площа описаного навколо квадрата круга

Знайти площу круга, описаного навколо квадрата зі стороною $a$ .

Розв’язання

Діагональ квадрата зі стороною $a$ дорівнює $a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = a 2$ . Оскільки діаметр описаного кола дорівнює діагоналі, то $2 R = a 2$ , звідки $R = \frac{a 2}{2}$ .
Підставимо радіус у формулу площі круга: $S = π R^{2} = π (\frac{a 2}{2})^{2} = π \frac{2 a ^{2}}{4} = \frac{π a ^{2}}{2}$ .

Відповідь:

$\frac{π a ^{2}}{2}$

Завдання 7.16

Площа вписаного у шестикутник круга

Знайти площу круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною $a$ .

Розв’язання

Висота правильного шестикутника зі стороною $a$ дорівнює $a 3$ . Радіус вписаного кола $r$ — це половина цієї висоти, тобто $r = \frac{a 3}{2}$ .
Площу круга обчислимо за формулою: $S = π r^{2} = π (\frac{a 3}{2})^{2} = π \frac{3 a ^{2}}{4} = \frac{3 π a ^{2}}{4}$ .

Відповідь:

$\frac{3 π a ^{2}}{4}$

Завдання 7.17

Площа вписаного у трикутник круга

Знайти площу круга, вписаного в правильний трикутник зі стороною $a$ .

Розв’язання

Висота правильного трикутника зі стороною $a$ дорівнює $\frac{a 3}{2}$ . Радіус вписаного кола $r$ — це половина цієї висоти, тобто $r = \frac{1}{2} \cdot \frac{a 3}{2} = \frac{a 3}{4}$ .
Площу круга обчислимо за формулою: $S = π r^{2} = π (\frac{a 3}{4})^{2} = π \frac{3 a ^{2}}{16} = \frac{3 π a ^{2}}{16}$ .

Відповідь:

$\frac{3 π a ^{2}}{16}$