ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк А. Г. — сторінка 81

Завдання 6.59

Знаходження радіуса кола за довжиною дотичної та хорди

Через точку $A$ до кола проведено дві дотичні. Відстань від точки $A$ до точки дотику дорівнює $12 см$ , а відстань між точками дотику — $14, 4 см$ . Знайдіть радіус кола.

Розв’язання

Позначимо точки дотику як $B$ та $C$ . Оскільки дотичні з однієї точки рівні, маємо $A B = A C = 12 см$ .
Відстань між точками дотику $B C = 14, 4 см$ . Проведемо висоту $A M$ із вершини $A$ на гіпотенузу $B C$ прямокутного трикутника $A B C$ . За властивістю рівнобедреного трикутника, висота є також медіаною, тому $B M = M C = \frac{14 , 4}{2} = 7, 2 см$ .
Знайдемо катет $A M$ у прямокутному трикутнику $A B M$ : $A M^{2} = A B^{2} - B M^{2} = 1 2^{2} - 7, 2^{2} = 144 - 51, 84 = 92, 16$ . Отже, $A M = 92, 16 = 9, 6 см$ .
Проведемо радіус $O B$ , перпендикулярний до дотичної $A B$ . Радіус $R$ є катетом прямокутного трикутника $O B A$ , де гіпотенуза $O A$ — це відстань від центру кола до точки $A$ . Проведемо радіус $O B$ і розглянемо прямокутний трикутник $O B A$ . Альтернативний спосіб: Оскільки $A B$ дотична, то $∠ O B A = 9 0^{\circ}$ . Розглянемо прямокутний трикутник $O B A$ , де катет $O B = R$ , а катет $A B = 12 см$ . Нам потрібно знайти гіпотенузу $O A$ або зв'язок з іншими відрізками.
Розглянемо прямокутний трикутник $O B A$ . Нехай $R$ — радіус ( $O B$ ). Тоді $O A^{2} = R^{2} + 1 2^{2}$ . Також розглянемо прямокутний трикутник $O M A$ , де $O M$ — відстань від центру до хорди $B C$ . Оскільки $A B = A C$ , то центр кола лежить на серединному перпендикулярі до $B C$ , який проходить через $A$ . Тобто $O, M, A$ лежать на одній прямій. У прямокутному трикутнику $O M B$ : $O M^{2} + M B^{2} = R^{2}$ .
Знайдемо $O M$ . У прямокутному трикутнику $A B M$ ми знайшли $A M = 9, 6 см$ . Оскільки $O, M, A$ лежать на одній прямій (середина хорди), то $O A = A M + O M$ . Тоді $O A^{2} = (A M + O M)^{2} = R^{2} + 1 2^{2}$ . Також $O M = R^{2} - M B^{2} = R^{2} - 7, 2^{2}$ . Підставимо: $(9, 6 + R^{2} - 51, 84)^{2} = R^{2} + 144$ .
Розкриємо дужки: $9, 6^{2} + 2 \cdot 9, 6 \cdot R^{2} - 51, 84 + (R^{2} - 51, 84) = R^{2} + 144$ .
Скоротимо $R^{2}$ : $92, 16 + 19, 2 R^{2} - 51, 84 - 51, 84 = 144$ .
$40, 32 + 19, 2 R^{2} - 51, 84 = 144$ .
$19, 2 R^{2} - 51, 84 = 103, 68$ .
$R^{2} - 51, 84 = \frac{103 , 68}{19 , 2} = 5, 4$ .
$R^{2} - 51, 84 = 5, 4^{2} = 29, 16$ .
$R^{2} = 29, 16 + 51, 84 = 81$ .
$R = 9 см$ .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює $9 см$ .