Сторінка 80

Розв’язання

1. Позначимо вершини правильного шестикутника як $A,B,C,D,E,F$ по колу. Відомо, що сторона $AB=1$. Діагональ $AD$, що проходить через центр, дорівнює $3$ (оскільки вона складається з трьох сторін).

2. Розглянемо трикутник $ACD$. Сторона $CD=1$, сторона $AD=3$. Кут $\angle ADC$ у правильному шестикутнику дорівнює $60^{\circ }$ (оскільки він складається з двох кутів рівнобедреного трикутника, що утворюють половину правильного шестикутника).

3. За теоремою косинусів для $△ACD$: $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos (60^{\circ })$. Підставимо числа: $A{C}^2=3^2+1^2-2\cdot 3\cdot 1\cdot 0,5=9+1-3=7$.

4. Отже, $AC=\sqrt{7}$ см. Відстань між вершинами $A$ і $C$ (або будь-якими іншими сусідніми вершинами через одну) дорівнює $\sqrt{7}$.

Розв’язання

1. Нехай сторона правильного трикутника $a=15$ см. Висота $h$ правильної трикутника обчислюється за формулою $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

2. Підставимо значення сторони: $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 15=7,5\sqrt{3}$ см.

3. Оскільки діаметр описаного кола дорівнює висоті трикутника, то шуканий діаметр $D=h$.

Розв’язання

1. Нехай сторона квадрата $a=14$ см. Діагональ $d$ квадрата обчислюється за формулою $d=a\sqrt{2}$.

2. Підставимо значення сторони: $d=14\sqrt{2}$ см.

3. Оскільки діаметр кола дорівнює діагоналі квадрата, то шуканий діаметр $D=d$.

Розв’язання

1. Знайдемо радіус вписаного кола правильного шестикутника ($r$), знаючи ширину грані $a=25\text{мм}$. Радіус дорівнює половині ширини: $r=\frac{25}{2}=12,5\text{мм}$.

2. Знайдемо діаметр вписаного кола ($d$), який відповідає внутрішній ширини гайки: $d=2r=25\text{мм}$.

3. Врахуємо зазор між гранями гайки та ключа. Оскільки зазор є з обох боків (зверху і знизу), від діаметра віднімемо подвійний зазор: $d_{\text{ключ}}=25-2\cdot 0,5=25-1=24\text{мм}$.

Розв’язання

1. Кут правильного трикутника ($n=3$): $\frac{(3-2)\cdot 180^{\circ }}{3}=60^{\circ }$. Три таких кути дають $180^{\circ }$, чотири — $240^{\circ }$, п'ять — $300^{\circ }$, шість — $360^{\circ }$. Отже, трикутники підходять (наприклад, 6 штук навколо точки).

2. Кут квадрата ($n=4$): $\frac{(4-2)\cdot 180^{\circ }}{4}=90^{\circ }$. Чотири кути дають $360^{\circ }$. Квадрати підходять.

3. Кут правильного п'ятикутника ($n=5$): $\frac{(5-2)\cdot 180^{\circ }}{5}=108^{\circ }$. Суми кратні $108^{\circ }$: $108,216,324,432$. Жодна не дорівнює $360^{\circ }$. П'ятикутники не підходять.

4. Кут правильного шестикутника ($n=6$): $\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=120^{\circ }$. Три кути дають $360^{\circ }$. Шестикутники підходять.

5. Кут правильного восьмикутника ($n=8$): $\frac{(8-2)\cdot 180^{\circ }}{8}=135^{\circ }$. Суми: $135,270,405$. Жодна не дорівнює $360^{\circ }$. Вісімкутники не підходять.

Розв’язання

1. Нехай $O$ — центр описаного кола, $R=13\text{см}$, основа $AB=24\text{см}$. Оскільки трикутник рівнобедрений ($AC=BC$), то центр кола лежить на серединному перпендикулярі до основи $AB$, який проходить через вершину $C$.

2. Розглянемо прямокутний трикутник $OHA$, де $H$ — середина основи $AB$. Тоді $AH=\frac{1}{2}AB=12\text{см}$, а гіпотенуза $OA=R=13\text{см}$.

3. За теоремою Піфагора знайдемо відстань $OH$: $OH=\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\text{см}$.

4. Оскільки трикутник тупокутний, центр кола $O$ лежить поза трикутником (на продовженні висоти з вершини $C$). Висота трикутника $CH=CO+OH=R+OH=13+5=18\text{см}$.