Сторінка 79

Розв’язання

1. Позначимо правильний п'ятикутник як $ABCDE$. Розглянемо діагональ $AC$ та сторону $ED$.

2. Кут при вершині правильного п'ятикутника дорівнює $\frac{(5-2)\cdot 180^{\circ }}{5}=108^{\circ }$.

3. У рівнобедреному трикутнику $ABC$ ($AB=BC$) кут при основі $\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^{\circ }-108^{\circ }}{2}=36^{\circ }$.

4. Розглянемо чотирикутник $ACDE$. Сума протилежних кутів: $\angle CDE=108^{\circ }$, а $\angle DCA=\angle BCD-\angle BCA=108^{\circ }-36^{\circ }=72^{\circ }$ (це не підходить для прямої).

5. Спробуємо інший підхід: кут між діагоналлю $AC$ і стороною $AB$ дорівнює $36^{\circ }$. Кут при вершині $B$ дорівнює $108^{\circ }$, отже, сума $\angle B+\angle BAC=144^{\circ }$.

6. Розглянемо кут між діагоналлю $AC$ і стороною $ED$. Кут $\angle AED=108^{\circ }$. У чотирикутнику $ACDE$ сума кутів $360^{\circ }$. Простіше: кут між діагоналлю та стороною дорівнює $36^{\circ }$, а внутрішній кут при вершині п'ятикутника $108^{\circ }$. Кут між діагоналлю і продовженням сторони також $36^{\circ }$ (через рівнобедрені трикутники).

7. Оскільки відповідні кути рівні ($36^{\circ }$), то прями, що містять діагональ і сторону, паралельні.

Розв’язання

1. Нехай $MN=a$. Розглянемо коло з центром $O_1$, в якому вписано правильний трикутник зі стороною $a$. Відстань від центру $O_1$ до сторони $MN$ дорівнює радіусу вписаного кола трикутника: $d_1=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

2. Розглянемо коло з центром $O_2$, в якому вписано квадрат зі стороною $a$. Відстань від центру $O_2$ до сторони $MN$ дорівнює половині діагоналі квадрата, поділеній на 2? Ні, це радіус вписаного кола квадрата: $d_2=\frac{a}{2}$.

3. Відстань між центрами $O_1{O}_2$ залежить від того, чи лежать вони по різні боки від хорди, чи ні.

4. Якщо центри лежать по різні боки від хорди, то $O_1{O}_2=d_1+d_2=\frac{a}{2\sqrt{3}}+\frac{a}{2}=a(\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2})=a\frac{3+\sqrt{3}}{6}$.

5. Якщо центри лежать по один бік від хорди, то $O_1{O}_2=|d_2-d_1|=|\frac{a}{2}-\frac{a}{2\sqrt{3}}|=a(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})=a\frac{3-\sqrt{3}}{6}$.

Розв’язання

1. Нехай $MN=a$. Для правильного шестикутника, вписаного в коло з центром $O_2$, відстань від центру до сторони дорівнює половині сторони: $d_2=\frac{a}{2}$.

2. Для правильного трикутника, вписаного в коло з центром $O_1$, відстань від центру до сторони (радіус вписаного кола) дорівнює $d_1=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

3. Якщо центри лежать по різні боки від хорди, то відстань між ними: $O_1{O}_2=d_1+d_2=\frac{a}{2\sqrt{3}}+\frac{a}{2}=a(\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2})=a\frac{3+\sqrt{3}}{6}$.

4. Якщо центри лежать по один бік від хорди, то відстань між ними: $O_1{O}_2=|d_2-d_1|=|\frac{a}{2}-\frac{a}{2\sqrt{3}}|=a(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})=a\frac{3-\sqrt{3}}{6}$.

Розв’язання

1. Позначимо центр описаного кола як $O$, а сусідні вершини многокутника — як $A$ та $B$. Тоді $OA=OB=R$, а кут $\angle AOB=45^{\circ }$. Сторона восьмикутника $AB=a$.

2. Застосуємо теорему косинусів до $△AOB$: $a^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cdot \cos (45^{\circ })$.

3. Підставимо значення $\cos (45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $a^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2R^2-R^2\sqrt{2}$.

4. Виносимо спільний множник $R^2$ за дужки: $a^2=R^2(2-\sqrt{2})$.

5. Щоб знайти $a$, витягнемо корінь з обох частин рівняння: $a=\sqrt{R^2(2-\sqrt{2})}=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

Розв’язання

1. Позначимо центр описаного кола як $O$, а сусідні вершини многокутника — як $A$ та $B$. Тоді $OA=OB=R$, а кут $\angle AOB=30^{\circ }$. Сторона дванадцятикутника $AB=a$.

2. Застосуємо теорему косинусів до $△AOB$: $a^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cdot \cos (30^{\circ })$.

3. Підставимо значення $\cos (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $a^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2R^2-R^2\sqrt{3}$.

4. Виносимо спільний множник $R^2$ за дужки: $a^2=R^2(2-\sqrt{3})$.

5. Щоб знайти $a$, витягнемо корінь з обох частин рівняння: $a=\sqrt{R^2(2-\sqrt{3})}=R\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

Розв’язання

1. Центр правильного восьмикутника є центром описаного кола. Розіб'ємо восьмикутник на 8 рівних трикутників, спільною вершиною яких є центр кола $O$.

2. Кут при вершині $O$ в кожному трикутнику дорівнює $\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$. Сторони, що йдуть з центру, дорівнюють радіусу $R$.

3. Площа одного такого трикутника: $S_{△}=\frac{1}{2}R\cdot R\cdot \sin (45^{\circ })=\frac{1}{2}{R}^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{R^2\sqrt{2}}{4}$.

4. Площа всього восьмикутника дорівнює сумі площ цих 8 трикутників: $S=8\cdot S_{△}=8\cdot \frac{R^2\sqrt{2}}{4}$.

5. Спростимо вираз: $S=2R^2\sqrt{2}$.

Розв’язання

1. Площа правильного трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою $S_{△}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

2. Оскільки правильний шестикутник складається з 6 таких трикутників, його площа $S_6=6\cdot S_{△}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

3. Спростимо вираз: $S_6=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Розв’язання

1. Нехай сторона правильного восьмикутника дорівнює $x$. Оскільки відсікані кути — це рівнобедрені прямокутні трикутники, їх катети дорівнюють $\frac{x}{\sqrt{2}}$.

2. Сума двох катетів і сторони восьмикутника (яка є частиною сторони квадрата) дорівнює $6\text{см}$: $2\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}+x=6$.

3. Розв'яжемо рівняння: $\sqrt{2}x+x=6$, отже $x(\sqrt{2}+1)=6$. Тоді $x=\frac{6}{\sqrt{2}+1}=6(\sqrt{2}-1)$.

Розв’язання

1. Нехай сторона правильного шестикутника дорівнює $x$. Катети відсіканого рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнюють $\frac{x}{\sqrt{3}}$.

2. Сума двох катетів і сторони шестикутника дорівнює $24\text{см}$: $2\cdot \frac{x}{\sqrt{3}}+x=24$.

3. Розв'яжемо рівняння: $\frac{2x}{\sqrt{3}}+x=24$, помножимо на $\sqrt{3}$: $2x+x\sqrt{3}=24\sqrt{3}$, отже $x(2+\sqrt{3})=24\sqrt{3}$. Тоді $x=\frac{24\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=24\sqrt{3}(2-\sqrt{3})=48\sqrt{3}-72$.