Сторінка 78

Розв’язання

1. Нехай $O$ — центр описаного кола, $I$ — центр вписаного кола правильного $△ABC$. Проведемо висоту $AH$, яка проходить через точки $O$ та $I$.

2. Розглянемо трикутники $△OBA$ і $△IBA$. Кут $\angle AOB=\frac{1}{2}\angle ACB=30^{\circ }$, а кут $\angle BAI=60^{\circ }:2=30^{\circ }$. Отже, трикутники подібні.

3. З пропорційності сторін подібних трикутників випливає, що $R=2r$.

Розв’язання

1. За умовою $R-r=4\text{см}$. Підставимо $R=2r$: $2r-r=4$, звідки $r=4\text{см}$.

2. Тоді радіус описаного кола $R=2\cdot 4=8\text{см}$.

3. Сторона правильного трикутника $a$ пов'язана з радіусом вписаного кола формулою $a=r\sqrt{3}$. Отже, $a=4\sqrt{3}\text{см}$.

Розв’язання

1. Розглянемо прямокутний трикутник з гіпотенузою $R$ і катетами $r$ та $\frac{a}{2}$.

2. За теоремою Піфагора: $R^2=r^2+(\frac{a}{2}{)}^2$.

3. Виразимо $r$: $r^2=R^2-\frac{a^2}{4}$, отже $r=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}$.

Розв’язання

1. Побудуємо радіус описаного кола $R$ і радіус вписаного кола $r$, що є висотою до сторони $a$.

2. Застосуємо теорему Піфагора: квадрат гіпотенузи ($R^2$) дорівнює сумі квадратів катетів ($r^2+a^2$).

3. Виразимо сторону $a$: $a=\sqrt{R^2-r^2}$.

Розв’язання

1. Означимо половину сторони многокутника як $\frac{a}{2}$.

2. У прямокутному трикутнику радіус описаного кола $R$ є гіпотенузою, а катетами є $r$ та $\frac{a}{2}$.

3. За теоремою Піфагора: $R^2=r^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$, звідки $R=\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}$.

Розв’язання

1. Оскільки шестикутник правильний і описаний навколо кола, то радіус кола $R$ дорівнює його стороні: $R=4\sqrt{3}$ см.

2. Діаметр кола $D=2R=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ см.

3. Для квадрата, вписаного в коло, діагональ дорівнює діаметру кола ($d=D$). Сторона квадрата $x$ пов'язана з діагоналлю формулою $x\sqrt{2}=d$.

4. Знайдемо сторону квадрата: $x=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=4\sqrt{6}$ см.

Розв’язання

1. Знайдемо діагональ квадрата: $d=\text{сторона}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=12$ см.

2. Радіус вписаного кола ($r$) дорівнює половині діагоналі: $r=\frac{12}{2}=6$ см. Цей радіус є також радіусом описаного кола для правильного трикутника, оскільки коло спільне.

3. Знайдемо сторону правильного трикутника ($a$), використовуючи формулу $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$, звідки $a=R\sqrt{3}$. Підставляємо $R=6$: $a=6\sqrt{3}$ см.

Розв’язання

1. Знайдемо діагональ квадрата зі стороною $a=12$ см: $d_{\text{квадрата}}=12\cdot \sqrt{2}$. Оскільки $\sqrt{2}\approx 1,41$, то $d_{\text{квадрата}}\approx 16,92$ см.

2. Порівнюємо отримане значення з діаметром круга: $16,92>16$. Діагональ квадрата більша за діаметр кола.

Розв’язання

1. Запишемо співвідношення кутів: $\frac{(n-2)180}{n}=\frac{360}{n}+36$.

2. Помножимо рівняння на $n$ (де $n\ne 0$): $(n-2)180=360+36n$.

3. Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: $180n-360=360+36n\Rightarrow 144n=720$.

4. Знайдемо $n$: $n=\frac{720}{144}=5$.

Розв’язання

1. Знайдемо повний внутрішній кут правильного многокутника: $\alpha =2\cdot 20^{\circ }=40^{\circ }$.

2. Складемо рівняння для знаходження кількості сторін $n$: $\frac{180^{\circ }(n-2)}{n}=40^{\circ }$.

3. Розв'яжемо рівняння: $180(n-2)=40n\Rightarrow 180n-360=40n\Rightarrow 140n=360\Rightarrow n=\frac{36}{14}=\frac{18}{7}$.

Розв’язання

1. Доведення: Нехай $ABCDE$ — правильний п'ятикутник. Розглянемо діагоналі $AC$, $AD$, $BD$, $BE$, $CE$. Діагональ $AC$ стягує дугу $\stackrel{⌢}{\mathrm{ABC}}$, що складається з двох сторін ($AB$ і $BC$). Аналогічно, діагональ $AD$ стягує дугу $\stackrel{⌢}{\mathrm{ABCD}}$ (чотири сторони), але ми розглядаємо хорди між вершинами. Краще: Діагоналі з'єднують вершини, віддалені на одну вершину. У кожному правильному п'ятикутнику діагоналі рівні через симетрію (обертання на $72^{\circ }$ переводить одну діагональ у іншу).

2. Аналіз твердження Дарини: Розглянемо правильний шестикутник $ABCDEF$. Візьмемо три послідовні вершини $A,B,C$. Трикутник $ABC$ має кути: $\angle ABC=120^{\circ }$, $\angle BAC=\angle BCA=30^{\circ }$. Це рівнобедрений трикутник. Але візьмемо вершини $A,C,D$. Трикутник $ACD$: сторона $CD$ — сторона шестикутника, $AC$ і $AD$ — діагоналі. У правильному шестикутнику діагональ $AC$ дорівнює стороні квадрата ($\sqrt{3}a$), а $CD=a$. Кути трикутника $ACD$: $\angle ACD=60^{\circ }$, $\angle CAD=30^{\circ }$, $\angle ADC=90^{\circ }$. Це прямокутний, але не рівнобедрений трикутник (бо $AC\ne CD$ і $AC\ne AD$). Отже, твердження Дарини хибне.