Сторінка 76

Розв’язання

1. Для пункту 1): $\frac{360^{\circ }}{n}=120^{\circ }\Rightarrow n=\frac{360^{\circ }}{120^{\circ }}=3$.

2. Для пункту 2): $\frac{360^{\circ }}{n}=72^{\circ }\Rightarrow n=\frac{360^{\circ }}{72^{\circ }}=5$.

Розв’язання

1. Для пункту 1): $n=6$, кут $=\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{6}=4\cdot 30^{\circ }=120^{\circ }$.

2. Для пункту 2): $n=9$, кут $=\frac{(9-2)\cdot 180^{\circ }}{9}=\frac{7\cdot 180^{\circ }}{9}=7\cdot 20^{\circ }=140^{\circ }$.

3. Для пункту 3): $n=15$, кут $=\frac{(15-2)\cdot 180^{\circ }}{15}=\frac{13\cdot 180^{\circ }}{15}=13\cdot 12^{\circ }=156^{\circ }$.

Розв’язання

1. Для пункту 1): $n=8$, кут $=\frac{(8-2)\cdot 180^{\circ }}{8}=\frac{6\cdot 180^{\circ }}{8}=6\cdot 22,5^{\circ }=135^{\circ }$.

2. Для пункту 2): $n=10$, кут $=\frac{(10-2)\cdot 180^{\circ }}{10}=\frac{8\cdot 180^{\circ }}{10}=8\cdot 18^{\circ }=144^{\circ }$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для одного кута правильного многокутника: $\alpha =\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$.

2. Для пункту 1): підставимо $\alpha =160^{\circ }$ і розв'яжемо рівняння $160=\frac{180(n-2)}{n}$:
   $160n=180n-360\Rightarrow 20n=360\Rightarrow n=18$.

3. Для пункту 2): підставимо $\alpha =171^{\circ }$ і розв'яжемо рівняння $171=\frac{180(n-2)}{n}$:
   $171n=180n-360\Rightarrow 9n=360\Rightarrow n=40$.

Розв’язання

1. Для пункту 1): маємо $108=\frac{180(n-2)}{n}$.
   $108n=180n-360\Rightarrow 72n=360\Rightarrow n=5$. Це ціле число, отже, це правильний п'ятикутник.

2. Для пункту 2): маємо $175=\frac{180(n-2)}{n}$.
   $175n=180n-360\Rightarrow 5n=360\Rightarrow n=72$. Це ціле число, отже, це правильний 72-кутник.

Розв’язання

1. Для пункту 1): маємо $140=\frac{180(n-2)}{n}$.
   $140n=180n-360\Rightarrow 40n=360\Rightarrow n=9$. Це ціле число, отже, існує правильний дев'ятикутник.

2. Для пункту 2): маємо $130=\frac{180(n-2)}{n}$.
   $130n=180n-360\Rightarrow 50n=360\Rightarrow n=7,2$. Це не ціле число, отже, правильного многокутника з кутом $130^{\circ }$ не існує.

Розв’язання

1. Позначимо внутрішній кут правильного многокутника як $\alpha$, а суміжний — як $\beta$. За умовою $\beta =\frac{1}{9}\alpha$. Оскільки сума цих кутів дорівнює $180^{\circ }$, маємо рівняння: $\alpha +\frac{1}{9}\alpha =180^{\circ }$.

2. Розв'яжемо рівняння: $\frac{10}{9}\alpha =180^{\circ }\Rightarrow \alpha =180^{\circ }\cdot \frac{9}{10}=162^{\circ }$.

3. Знайдемо кількість сторін $n$ за формулою внутрішнього кута: $\alpha =\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$. Підставимо значення: $\frac{(n-2)\cdot 180}{n}=162$.

4. Спростимо рівняння, поділивши на $18$: $\frac{n-2}{n}=\frac{162}{180}=\frac{9}{10}$. Отримуємо $10(n-2)=9n\Rightarrow 10n-20=9n\Rightarrow n=20$.

Розв’язання

1. Позначимо суміжний кут через $x$. Тоді внутрішній кут дорівнює $x+168^{\circ }$. За властивістю випуклого многокутника сума цих кутів дорівнює $180^{\circ }$: $x+(x+168^{\circ })=180^{\circ }$.

2. Розв'яжемо рівняння: $2x=180^{\circ }-168^{\circ }=12^{\circ }\Rightarrow x=6^{\circ }$. Отже, внутрішній кут $\alpha =6^{\circ }+168^{\circ }=174^{\circ }$.

3. Знайдемо кількість сторін $n$ за формулою: $\frac{(n-2)\cdot 180}{n}=174$. Спростимо дріб: $\frac{n-2}{n}=\frac{174}{180}=\frac{29}{30}$.

4. Розв'яжемо рівняння $30(n-2)=29n$: $30n-60=29n\Rightarrow n=60$.

Розв’язання

1. Перший рядок: $a=6\sqrt{3}$. Знайдемо висоту $h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6\sqrt{3}=\frac{3}{2}\cdot 6=9$. Тоді $R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 9=6$, а $r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot 9=3$.

2. Другий рядок: $R=4\sqrt{3}$. Знайдемо сторону $a=R\sqrt{3}=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=12$. Знайдемо висоту $h=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot 4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$. Тоді $r=\frac{1}{2}R=2\sqrt{3}$.

3. Третій рядок: $r=2$. Знайдемо висоту $h=3r=6$. Сторона $a=\frac{2}{\sqrt{3}}h=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$. Радіус описаного кола $R=2r=4$.

Розв’язання

1. Пункт 1 ($a=8\text{см}$): Знайдемо діагональ $d=a\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{см}$. Тоді радіус описаного кола $R=\frac{d}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{см}$. Радіус вписаного кола $r=\frac{a}{2}=\frac{8}{2}=4\text{см}$.

2. Пункт 2 ($R=4\text{см}$): Знайдемо діаметр описаного кола (що дорівнює діагоналі квадрата): $d=2R=8\text{см}$. Знайдемо сторону: $a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\text{см}$. Радіус вписаного кола $r=\frac{a}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{см}$.

3. Пункт 3 ($r=\sqrt{2}\text{см}$): Знайдемо сторону квадрата: $a=2r=2\sqrt{2}\text{см}$. Знайдемо діагональ: $d=a\sqrt{2}=(2\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}=4\text{см}$. Радіус описаного кола $R=\frac{d}{2}=\frac{4}{2}=2\text{см}$.