ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 75

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 6.7–6.13 · 7 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Правильні многокутники

Завдання 6.7

Виділення діагоналей, радіусів та центральних кутів

На рисунку 6.14 зображено правильний восьмикутник $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ , точка $O$ — його центр. Потрібно визначити серед відрізків: 1) діагоналі, 2) радіуси описаного кола, 3) радіуси вписаного кола. Також треба знайти, які з кутів $∠ A_{1} O A_{8}$ , $∠ A_{1} O C$ , $∠ A_{2} O A_{4}$ , $∠ A_{1} O A_{2}$ є центральними кутами восьмикутника.

Розв’язання

Діагоналями є відрізки $A_{1} A_{3}$ , $A_{1} A_{4}$ , $A_{1} A_{5}$ , $A_{1} A_{6}$ , $A_{1} A_{7}$ (та інші, що не з'єднують сусідні вершини).
Радіусами описаного кола є відрізки $O A_{1}$ , $O A_{2}$ , ..., $O A_{8}$ .
Радіусами вписаного кола є відрізки, що з'єднують центр $O$ з точками перетину бісектрис із сторонами (наприклад, якщо провести перпендикуляри до сторін, хоча на рисунку вони явно не позначені як такі, але за визначенням це відрізки до середин).
Кут $∠ A_{1} O A_{8}$ є центральним, оскільки $A_{1}$ і $A_{8}$ — сусідні вершини.
Кут $∠ A_{1} O C$ не є центральним кутами восьмикутника в повному сенсі (це частина центрального або кут до середини сторони, якщо $C$ — середина), але за умовою треба перевірити, чи це кут між двома вершинами. Оскільки $C$ лежить на стороні $A_{1} A_{2}$ , то $∠ A_{1} O C$ не є центральним кутом восьмикутника (це половина центрального).
Кут $∠ A_{2} O A_{4}$ не є центральним кутом, оскільки вершини $A_{2}$ і $A_{4}$ не є сусідніми.
Кут $∠ A_{1} O A_{2}$ є центральним кутом, оскільки $A_{1}$ і $A_{2}$ — сусідні вершини.

Відповідь:

1) Діагоналі: $A_{1} A_{3}$ , $A_{1} A_{4}$ , $A_{1} A_{5}$ , $A_{1} A_{6}$ , $A_{1} A_{7}$ (та інші комбінації несусідніх вершин). 2) Радіуси описаного кола: $O A_{1}, O A_{2}, \dots, O A_{8}$ . 3) Радіуси вписаного кола: відрізки від $O$ до середин сторін (наприклад, якщо позначити середину $A_{1} A_{2}$ як $C$ , то $O C$ ). 4) Центральні кути з переліку: $∠ A_{1} O A_{8}$ і $∠ A_{1} O A_{2}$ .

Завдання 6.8

Обчислення периметра правильного 16-кутника

Правильний 16-кутник має сторону, що дорівнює $3 см$ . Знайдіть його периметр.

Розв’язання

Кількість сторін правильного 16-кутника дорівнює $n = 16$ .
Довжина сторони $a = 3 см$ .
Периметр $P = 16 \cdot 3 = 48 см$ .

Відповідь:

$48 см$ .

Завдання 6.9

Знаходження кількості сторін многокутника за периметром і стороною

Сторона правильного многокутника дорівнює $6 см$ , а його периметр — $90 см$ . Знайдіть кількість сторін цього многокутника.

Розв’язання

Периметр $P = 90 см$ , сторона $a = 6 см$ .
Кількість сторін $n = 90/6$ .
Виконаємо ділення: $90 : 6 = 15$ .

Відповідь:

15 сторін (правильний п'ятнадцятикутник).

Завдання 6.10

Знаходження сторони семикутника за периметром

Периметр правильного семикутника на $42 см$ більший за його сторону. Знайти довжину сторони.

Розв’язання

Позначимо довжину сторони семикутника як $x см$ . Тоді його периметр дорівнює $7 x см$ .
За умовою задачі периметр на $42 см$ більший за сторону, тому складемо рівняння: $7 x = x + 42$ .
Розв'яжемо рівняння: віднімемо $x$ від обох частин ( $6 x = 42$ ), а потім поділимо на $6$ ( $x = 7$ ).

Відповідь:

Сторона семикутника дорівнює $7 см$ .

Завдання 6.11

Знаходження периметра десятикутника за різницею з його стороною

Сторона правильного десятикутника на $90 см$ менша від його периметра. Знайти периметр.

Розв’язання

Нехай сторона десятикутника дорівнює $x см$ . Тоді його периметр дорівнює $10 x см$ .
За умовою різниця між периметром і стороною дорівнює $90 см$ , тому: $10 x - x = 90$ .
Спростимо рівняння: $9 x = 90$ , звідки $x = 10 см$ . Це сторона. Знайдемо периметр: $P = 10 \cdot 10 = 100 см$ .

Відповідь:

Периметр десятикутника дорівнює $100 см$ .

Завдання 6.12

Знаходження градусної міри центрального кута тридцятикутника

Яка градусна міра центрального кута правильного 30-кутника?

Розв’язання

Формула для центрального кута: $α = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ .
Підставимо $n = 30$ : $α = \frac{36 0 ^{\circ}}{30}$ .
Виконаємо ділення: $360 : 30 = 12$ .

Відповідь:

Градусна міра центрального кута правильного 30-кутника дорівнює $1 2^{\circ}$ .

Завдання 6.13

Кількість сторін многокутника за дугою

Знайти кількість сторін правильного многокутника, вписаного в коло, якщо градусна міра дуги описаного кола, яку стягує сторона многокутника, дорівнює: 1) $9 0^{\circ}$ ; 2) $2 4^{\circ}$ .

Розв’язання

Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, яку стягує сторона многокутника.
Кількість сторін $n$ знаходимо за формулою $n = \frac{36 0 ^{\circ}}{градусна міра дуги}$ .

Відповідь:

1) 4 сторони (правильний чотирикутник); 2) 15 сторін (правильний п'ятнадцятикутник).