ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 74

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 6.1–6.6 · 6 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 2. Правильні многокутники

Завдання 6.1

Побудова правильних многокутників

Накреслити коло радіусом $3 см$ . Побудувати вписані у нього: 1) правильний шестикутник; 2) правильний трикутник; 3) правильний дванадцятикутник.

Розв’язання

Проведіть коло радіусом $R = 3 см$ .
Відкладіть на колі шість дуг, довжина кожної з яких дорівнює радіусу кола ( $3 см$ ), щоб отримати вершини правильного шестикутника. Сполучіть їх у послідовність.
Для побудови правильного трикутника сполучіть через одну вершину отриманого шестикутника (наприклад, 1-ю з 4-ю, 2-ю з 5-ю тощо).
Знайдіть середини кожної сторони шестикутника. Проведіть радіуси від центру кола до цих точок. Сполучіть отримані точки на колі, щоб утворити правильний дванадцятикутник.

Відповідь:

Побудовано три фігури: 1) правильний шестикутник; 2) вписаний правильний трикутник; 3) вписаний правильний дванадцятикутник.

Завдання 6.2

Побудова правильних многокутників іншого розміру

Накреслити коло радіусом $2, 5 см$ . Побудувати вписані у нього: 1) правильний чотирикутник; 2) правильний восьмикутник.

Розв’язання

Проведіть коло радіусом $R = 2, 5 см$ .
Проведіть два перпендикулярні діаметри кола, що перетинаються в центрі $O$ . Сполучіть точки перетину з колом, щоб отримати правильний чотирикутник (квадрат).
Знайдіть середини кожної сторони квадрата. Проведіть радіуси від центру кола до цих точок.
Сполучіть точки перетину проведених радіусів з колом, щоб утворити правильний восьмикутник.

Відповідь:

Побудовано дві фігури: 1) вписаний правильний чотирикутник; 2) вписаний правильний восьмикутник.

Завдання 6.3

Побудова опуклого неправильного шестикутника

Накреслити опуклий шестикутник, який не є правильним, за умовою: 1) всі сторони рівні; 2) всі кути рівні.

Розв’язання

(для пункту 1) Побудуйте шестикутник, у якого всі сторони дорівнюють $a$ , але кути не рівні між собою (наприклад, змініть один кут). Це дасть опуклий шестикутник з рівними сторонами, який не є правильним.
(для пункту 2) Побудуйте шестикутник, у якого всі внутрішні кути дорівнюють $12 0^{\circ}$ , але довжини сторін різні (наприклад, дві коротші та чотири довші). Це дасть опуклий шестикутник з рівними кутами, який не є правильним.

Відповідь:

1) Побудовано опуклий шестикутник з рівними сторонами, але різними кутами; 2) Побудовано опуклий шестикутник з рівними кутами, але різними сторонами.

Завдання 6.4

Побудова правильного шестикутника і розрізання на ромби

Накресліть правильний шестикутник на цупкому папері та розріжте його на 3 рівних ромби.

Розв’язання

Побудуйте правильний шестикутник $A B C D E F$ навколо кола або за допомогою транспортира (кути 120°).
Проведіть діагоналі $A C$ , $C E$ та $E A$ . Ці лінії поділять шестикутник на три рівні ромби ( $A B O C$ , $C D O E$ , $E F A O$ ), оскільки кути в центрі дорівнюють 120°, а внутрішні кути ромба — 60° та 120°.

Відповідь:

Правильний шестикутник поділено на три рівних ромби, що мають спільну вершину в центрі $O$ .

Завдання 6.5

Перевірка визначення правильного многокутника

Чи є правильними твердження: 1) якщо всі кути трикутника рівні, то він правильний; 2) якщо всі кути чотирикутника рівні, то він правильний; 3) якщо всі сторони чотирикутника рівні, то він правильний? Обґрунтуйте.

Розв’язання

1) Трикутник з рівними кутами має рівні сторони (рівносторонній), отже — правильний. Твердження вірне.
Чотирикутник з рівними кутами — прямокутник, але його сторони можуть бути різними. Твердження хибне.
Чотирикутник з рівними сторонами — ромб, але кути у нього не обов'язково рівні (крім квадрата). Твердження хибне.

Відповідь:

1) Так; 2) Ні; 3) Ні.

Завдання 6.6

Визначення елементів правильного шестикутника на рисунку

На рисунку 6.13 зображено правильний шестикутник $A B C D E F$ і точку $O$ — його центр. Укажіть серед відрізків: 1) діагоналі; 2) радіуси описаного кола; 3) радіус вписаного кола. Також визначте, який кут з наведених ( $C A D$ , $D O E$ , $F O M$ , $D O F$ ) є центральним.

Розв’язання

Діагоналі шестикутника: $A D$ , $B E$ , $C F$ .
Радіуси описаного кола: $O A$ , $O B$ , $O C$ , $O D$ , $O E$ , $O F$ .
Радіус вписаного кола (апотема): $O M$ (де $M$ — середина сторони $E F$ ).
Центральним кутом є кут, що спирається на сторону многокутника. Кути $C A D$ та $D O F$ не є центральними (вершина не в $O$ або дуга більша за сторону). Кут $D O E$ спирається на сторону $D E$ , отже він центральний.

Відповідь:

1) Діагоналі: $A D, B E, C F$ . 2) Радіуси описаного кола: $O A, O B, O C, O D, O E, O F$ . 3) Радіус вписаного кола: $O M$ . Центральний кут: $∠ D O E$ .