ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 60

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 5.37–5.44 · 8 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 5.37

Площа за висотами та кутом

У трикутнику $A B C$ кут $A$ дорівнює $α$ , а висоти $B D$ і $C E$ дорівнюють відповідно $h_{1}$ і $h_{2}$ . Знайдіть площу трикутника $A B C$ .

Розв’язання

Розглянемо прямокутні трикутники $A B D$ і $A C E$ . У трикутнику $A B D$ маємо $sin α = \frac{h _{1}}{c}$ (де $c = A B$ ), отже $c = \frac{h _{1}}{sin α}$ .
У трикутнику $A C E$ маємо $sin α = \frac{h _{2}}{b}$ (де $b = A C$ ), отже $b = \frac{h _{2}}{sin α}$ .
Підставимо вирази для сторін у формулу площі: $S = \frac{1}{2} b c sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{h _{1}}{sin α} \cdot \frac{h _{2}}{sin α} \cdot sin α$ .
Спростимо вираз: $S = \frac{h _{1} h _{2}}{2 sin α}$ .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює $\frac{h _{1} h _{2}}{2 sin α}$ .

Завдання 5.38

Площа за висотою та двома кутами

Відрізок $B M$ — висота трикутника $A B C$ , $B M = h$ , $∠ A = α$ , $∠ A B C = β$ . Знайдіть площу трикутника $A B C$ .

Розв’язання

У прямокутному трикутнику $A B M$ маємо $tan α = \frac{h}{A M}$ , звідки $A M = \frac{h}{tan α}$ .
У прямокутному трикутнику $C B M$ маємо $tan β = \frac{h}{M C}$ , звідки $M C = \frac{h}{tan β}$ .
Довжина основи $A C$ дорівнює сумі відрізків: $A C = A M + M C = h (\frac{1}{tan α} + \frac{1}{tan β})$ .
Знайдемо площу: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot h = \frac{h ^{2}}{2} (\frac{1}{tan α} + \frac{1}{tan β})$ .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює $\frac{h ^{2}}{2} (cot α + cot β)$ .

Завдання 5.39

Знаходження бісектриси за сторонами та кутом

Відрізок $A D$ — бісектриса трикутника $A B C$ , $A B = 6 см$ , $A C = 8 см$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ . Знайдіть довжину бісектриси $A D$ .

Розв’язання

Позначимо довжину бісектриси як $d$ . Розглянемо площу трикутника $A B C$ як суму площ трикутників $A B D$ і $A C D$ .
Площа $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2} = 123$ .
Площа $S_{A B C}$ також дорівнює сумі площ: $\frac{1}{2} A B \cdot d \cdot sin 6 0^{\circ} + \frac{1}{2} A C \cdot d \cdot sin 6 0^{\circ}$ .
Спростимо рівняння: $123 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot d \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot d \cdot \frac{3}{2}$ .
$123 = 3 d \cdot \frac{3}{2} + 4 d \cdot \frac{3}{2} = \frac{7 3}{2} d$ .
Знайдемо $d$ : $d = \frac{12 3 \cdot 2}{7 3} = \frac{24}{7} см$ .

Відповідь:

Довжина бісектриси $A D$ дорівнює $\frac{24}{7} см$ (або приблизно $3, 43 см$ ).

Завдання 5.40

Площа трапеції за сторонами

Знайти площу трапеції, основи якої дорівнюють $10 см$ і $50 см$ , а бічні сторони — $13 см$ і $37 см$ .

Розв’язання

Позначимо основи трапеції як $a = 10$ , $b = 50$ . Бічні сторони $c_{1} = 13$ , $c_{2} = 37$ . Проведемо перпендикуляр з вершини кута при основі $c_{1}$ до більшої основи.
Нехай проекція бічної сторони $c_{1}$ на основі $b$ дорівнює $x$ , а проекція $c_{2}$ — $y$ . Тоді $x + y = b - a = 50 - 10 = 40$ .
За теоремою Піфагора для двох прямокутних трикутників: $h^{2} + x^{2} = 1 3^{2}$ і $h^{2} + y^{2} = 3 7^{2}$ . Звідси $x^{2} - y^{2} = 169 - 1369 = - 1200$ .
Маємо систему: $x + y = 40$ , $x^{2} - y^{2} = - 1200$ . Перетворимо друге рівняння: $(x - y) (x + y) = - 1200 \Rightarrow (x - y) \cdot 40 = - 1200 \Rightarrow x - y = - 30$ .
Знайдемо $x$ і $y$ : додаємо рівняння $x + y = 40$ та $x - y = - 30$ , отримуємо $2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ . Тоді $y = 35$ . Перевіримо: $h^{2} = 169 - 25 = 144 \Rightarrow h = 12$ .

Відповідь:

Площа трапеції дорівнює $\frac{10 + 50}{2} \cdot 12 = 360 см^{2}$ .

Завдання 5.41

Площа трапеції за основами та діагоналями

Основи трапеції дорівнюють $4 см$ і $5 см$ , а діагоналі — $7 см$ і $8 см$ . Знайти площу трапеції.

Розв’язання

Нехай основи $a = 4$ , $b = 5$ , діагоналі $d_{1} = 7$ , $d_{2} = 8$ . Проведемо пряму через вершину $A$ паралельно діагоналі $B D$ , яка перетне продовження основи $C D$ у точці $K$ .
Чотирикутник $A B D K$ є трапецією з основами $A B = 5$ і $D K = a = 4$ (оскільки $A B ∥ D K$ ). Але простіше: трикутник $A D K$ має сторони $A K = d_{1} = 7$ , $D K = a = 4$ , $A D = d_{2} = 8$ .
Знайдемо площу трикутника $A D K$ за формулою Герона: $p = \frac{7 + 4 + 8}{2} = 9, 5$ . Площа $S_{A D K} = 9, 5 (9, 5 - 7) (9, 5 - 4) (9, 5 - 8) = 9, 5 \cdot 2, 5 \cdot 5, 5 \cdot 1, 5$ .
Обчислимо: $9, 5 \cdot 2, 5 = 23, 75$ , $5, 5 \cdot 1, 5 = 8, 25$ . Добуток $23, 75 \cdot 8, 25 = 195, 9375$ . Це не квадрат. Перевіримо: $p = 9, 5$ , $p - a = 5, 5$ , $p - d_{1} = 2, 5$ , $p - d_{2} = 1, 5$ . Добуток $9, 5 \cdot 5, 5 \cdot 2, 5 \cdot 1, 5 = (19/2) \cdot (11/2) \cdot (5/2) \cdot (3/2) = \frac{19 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 3}{16} = \frac{3135}{16}$ . Корінь з цього не цілий. Можливо, я помилився у побудові.
Правильний підхід: площа трапеції дорівнює площі трикутника зі сторонами $a$ , $b$ , $d_{1}$ (або $d_{2}$ ) — ні. Краще: площа трапеції = площа трикутника з сторонами $d_{1}, d_{2}, b - a$ . Ні.
Використовуємо формулу: площа трапеції $S = \frac{a + b}{2} h$ . Але знайти висоту важко. Спробуємо інший метод: площа трапеції дорівнює площі трикутника з сторонами $d_{1}, d_{2}$ і різницею основ? Ні.
Правильна побудова: перенесемо діагональ $B D$ у точку $C$ , отримаємо трикутник зі сторонами $A C = d_{1} = 7$ , $B C = d_{2} = 8$ , а третя сторона дорівнює різниці основ $b - a = 1$ . Площа цього трикутника дорівнює площі трикутника, утвореного діагоналями та основою. Але площа трапеції = площа трикутника з сторонами $d_{1}, d_{2}, b - a$ помножена на... Ні.
Формула: площа трапеції $S = \frac{a + b}{2} h$ . Знайдемо висоту через трикутник зі сторонами $d_{1}, d_{2}, ∣ b - a ∣$ . Нехай $x = ∣ b - a ∣ = 1$ . Трикутник зі сторонами $7, 8, 1$ . Його площа $S_{t r i} = p (p - 7) (p - 8) (p - 1)$ , де $p = \frac{7 + 8 + 1}{2} = 8$ . $S_{t r i} = 8 (1) (0) (7) = 0$ . Це неможливо, бо трикутник з сторонами $7, 8, 1$ не існує ( $7 + 1 < 8$ ). Отже, дані завдання некоректні? Перевіримо умову: основи $4$ і $5$ , діагоналі $7$ і $8$ . Різниця основ $1$ . Трикутник з сторонами $7, 8, 1$ — неможливий. Отже, така трапеція не існує.

Відповідь:

Така трапеція не існує, оскільки сума менших сторін трикутника ( $7 + 1 = 8$ ) дорівнює третій стороні ( $8$ ), що означає вироджений трикутник (площа 0). Отже, площа трапеції дорівнює $0 см^{2}$ .

Завдання 5.42

Радіус кола, вписаного в трикутник

Сторони трикутника дорівнюють $39 см$ , $41 см$ і $50 см$ . Знайти радіус кола, центр якого належить більшій стороні ( $50 см$ ) та яке дотикається до двох інших сторін.

Розв’язання

Позначимо сторони $a = 39$ , $b = 41$ , $c = 50$ . Знайдемо півпериметр $p = \frac{39 + 41 + 50}{2} = 65 см$ .
Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: $S = 65 (65 - 39) (65 - 41) (65 - 50) = 65 \cdot 26 \cdot 24 \cdot 15$ .
Розкладемо на множники: $65 = 5 \cdot 13$ , $26 = 2 \cdot 13$ , $24 = 2^{3} \cdot 3$ , $15 = 3 \cdot 5$ . Добуток: $5 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2^{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 1 3^{2}$ .
Корінь з добутку: $S = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 780 см^{2}$ .
Центр кола лежить на стороні $c = 50$ , отже, коло дотикається до сторін $a$ і $b$ . Радіус $r$ такого кола дорівнює відстані від центра до сторін $a$ і $b$ . Площа трикутника також дорівнює сумі площ двох менших трикутників, утворених радіусами: $S = \frac{1}{2} r a + \frac{1}{2} r b = \frac{r}{2} (a + b)$ .
Звідси $r = \frac{2 S}{a + b} = \frac{2 \cdot 780}{39 + 41} = \frac{1560}{80} = 19, 5 см$ .

Відповідь:

Радіус кола дорівнює $19, 5 см$ .

Завдання 5.43

Відношення висот і радіуса вписаного кола

Доведіть, що $\frac{1}{h _{1}} + \frac{1}{h _{2}} + \frac{1}{h _{3}} = \frac{1}{r}$ , де $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ — довжини висот трикутника, а $r$ — радіус вписаного кола.

Розв’язання

Запишемо формулу площі $S$ через кожну висоту: $S = \frac{1}{2} a h_{1} = \frac{1}{2} b h_{2} = \frac{1}{2} c h_{3}$ . Звідси висоти: $h_{1} = \frac{2 S}{a}, h_{2} = \frac{2 S}{b}, h_{3} = \frac{2 S}{c}$ .
Підставимо вирази для висот у ліву частину рівності, яку треба довести: $\frac{1}{h _{1}} + \frac{1}{h _{2}} + \frac{1}{h _{3}} = \frac{a}{2 S} + \frac{b}{2 S} + \frac{c}{2 S}$ .
Спростимо дріб: $\frac{a + b + c}{2 S}$ . Оскільки $a + b + c = 2 p$ (периметр), то вираз стає $\frac{2 p}{2 S} = \frac{p}{S}$ .
З формули площі через радіус вписаного кола маємо $S = p \cdot r$ , звідки $\frac{1}{r} = \frac{p}{S}$ . Отже, ліва і права частини рівності збігаються.

Відповідь:

Доведено.

Завдання 5.44

Кількість балончиків для фарбування навісу

Трикутний навіс має розміри $6 м$ , $5 м$ і $2, 2 м$ . Один балончик пофарбовує $1, 5 м^{2}$ поверхні. Знайти мінімальну кількість балончиків для фарбування навісу з однієї сторони.

Розв’язання

Знайдемо півпериметр $p$ : $p = \frac{6 + 5 + 2 , 2}{2} = \frac{13 , 2}{2} = 6, 6 м$ .
Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: $S = 6, 6 (6, 6 - 6) (6, 6 - 5) (6, 6 - 2, 2) = 6, 6 \cdot 0, 6 \cdot 1, 6 \cdot 4, 4$ .
Обчислимо добуток під коренем: $6, 6 \cdot 0, 6 = 3, 96$ ; $1, 6 \cdot 4, 4 = 7, 04$ ; $3, 96 \cdot 7, 04 = 27, 8784$ . Тоді $S = 27, 8784 = 5, 28 м^{2}$ .
Знайдемо кількість балончиків: $\frac{5 , 28}{1 , 5} = 3, 52$ . Оскільки балончики неможливо купити частково, округлюємо вгору до цілого числа.

Відповідь:

$4$ балончики.