Сторінка 61

Розв’язання

1. Перевіряємо нерівність трикутника: $7+15=22>20$, тому такий трикутник існує. Обчислюємо півпериметр $p=\frac{7+15+20}{2}=\frac{42}{2}=21\text{м}$.

2. Знаходимо площу трикутника за формулою Герона: $S=\sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}$. Спростимо під коренем: $21\cdot 14\cdot 6=(3\cdot 7)\cdot (2\cdot 7)\cdot (2\cdot 3)=2^2\cdot 3^2\cdot 7^2$. Отже, $S=2\cdot 3\cdot 7=42{\text{м}}^2$.

3. Використовуємо зв'язок між площею та радіусом вписаного кола: $S=p\cdot r$, звідки $r=\frac{S}{p}=\frac{42}{21}=2\text{м}$.

Розв’язання

1. Позначимо кути трикутника. Оскільки $CD$ — бісектриса, то $\angle ACD=\angle DCB$.

2. Оскільки $DE\parallel AC$, то $\angle EDC=\angle ACD$ (альтернативні кути).

3. Отже, $\angle EDC=\angle DCB$, що означає, що $△CDE$ — рівнобедрений з основою $CE$. Тоді $DE=CE$.

4. Застосуємо теорему про пропорційність відрізків: оскільки $DE\parallel AC$, то $\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{EC}$, але нам потрібне відношення всього трикутника. Краще скористатись тим, що $AC$ і $BC$ — сторони трикутника $ABC$, а пряма $DE$ перетинає їх. Пропорція: $\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}$? Ні, це не так для бісектриси.
   Давайте розглянемо трикутник $ABC$. Пряма $DE$ паралельна основі $AC$. Тоді $△BDE\sim △BCA$.
   Отже, $\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}$. Нам невідомо $AB$ і $BD$.
   Але ми знаємо властивість бісектриси: вона ділить сторону на відрізки пропорційно до інших сторін. Тобто $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$. Це нам не допомагає без $AB$.
   Повернемося до рівнобедреного трикутника. Ми знаємо, що $DE=CE$. Позначимо $CE=x$, тоді $BE=24-x$.
   З подібності $△BDE\sim △BCA$ маємо: $\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{BC}$.
   Підставимо відомі значення та вираз для $DE$: $\frac{x}{16}=\frac{24-x}{24}$.

5. Розв'яжемо рівняння: $24x=16(24-x)\Rightarrow 24x=384-16x\Rightarrow 40x=384$.

6. Знайдемо $x$: $x=\frac{384}{40}=9,6$.

Розв’язання

1. Визначаємо кількість сторін (вірш) многокутника: $n=7$.

2. Підставляємо значення в формулу: $(7-2)\cdot 180^{\circ }=5\cdot 180^{\circ }$.

3. Виконуємо множення: $5\cdot 180=900$.

Розв’язання

1. Знайдемо кількість сторін $n$ для першого випадку, розділивши суму кутів на $180^{\circ }$: $n=\frac{1080^{\circ }}{180^{\circ }}+2=6+2=8$. Оскільки $n=8$ — це ціле число, такий опуклий восьмикутник існує.

2. Знайдемо кількість сторін $n$ для другого випадку: $n=\frac{1200^{\circ }}{180^{\circ }}+2=6,\overline{6}+2$. Оскільки результат не є цілим числом, опуклого многокутника з такою сумою кутів не існує.

Розв’язання

1. Перший випадок ($\alpha =72^{\circ }$): $(n-2)\cdot 180=n\cdot 72$. $180n-360=72n$. $108n=360$. $n=\frac{360}{108}=\frac{10}{3}$. Це не ціле число, тому опуклого многокутника з такими кутами не існує.

2. Другий випадок ($\alpha =171^{\circ }$): $(n-2)\cdot 180=n\cdot 171$. $180n-360=171n$. $9n=360$. $n=40$. Оскільки $40\ge 3$, такий многокутник (рівнокутний сорокакутник) існує.