ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 59

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 5.28–5.36 · 9 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 5.28

Можливі значення площі трикутника

Чи може площа трикутника зі сторонами $4 см$ і $6 см$ дорівнювати: 1) $6 см^{2}$ ; 2) $14 см^{2}$ ; 3) $12 см^{2}$ ? Поясніть міркування.

Розв’язання

Знайдемо максимальну площу, приймаючи $sin γ = 1$ (тобто кут $9 0^{\circ}$ ): $S_{max} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 см^{2}$ .
Порівняємо дані значення з $S_{max}$ : $6 < 12$ (можливо), $14 > 12$ (неможливо), $12 = 12$ (можливо).

Відповідь:

1) так; 2) ні; 3) так.

Завдання 5.29

Кут паралелограма за умовою площі

Дві сусідні сторони паралелограма дорівнюють двом сусіднім сторонам прямокутника. Площа паралелограма вдвічі менша від площі цього прямокутника. Знайти гострий кут паралелограма.

Розв’язання

Позначимо сторони $a$ і $b$ . Площа прямокутника $S_{пр} = ab$ , площа паралелограма $S_{п} = ab sin α$ .
За умовою $ab sin α = \frac{1}{2} ab$ . Скорочуємо на $ab$ ( $a, b \neq = 0$ ): $sin α = \frac{1}{2}$ .
Знаходимо кут $α$ , для якого синус дорівнює $\frac{1}{2}$ : $α = 3 0^{\circ}$ .

Відповідь:

$3 0^{\circ}$ .

Завдання 5.30

Відношення площ трикутників за сторонами та кутом

Площі трикутників $A B C$ і $A_{1} B_{1} C_{1}$ дорівнюють $S$ і $S_{1}$ . Кути при вершинах $A$ і $A_{1}$ рівні. Довести, що $\frac{S}{S _{1}} = \frac{A B \cdot A C}{A _{1} B _{1} \cdot A _{1} C _{1}}$ .

Розв’язання

Запишемо площу першого трикутника: $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C sin A$ .
Запишемо площу другого трикутника: $S_{1} = \frac{1}{2} A_{1} B_{1} \cdot A_{1} C_{1} sin A_{1}$ .
Оскільки $∠ A = ∠ A_{1}$ , то $sin A = sin A_{1}$ . Поділимо перше рівність на друге: $\frac{S}{S _{1}} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot A C sin A}{\frac{1}{2} A _{1} B _{1} \cdot A _{1} C _{1} sin A _{1}}$ .
Скорочуємо спільні множники $\frac{1}{2}$ і $sin A$ : $\frac{S}{S _{1}} = \frac{A B \cdot A C}{A _{1} B _{1} \cdot A _{1} C _{1}}$ .

Відповідь:

Доведено.

Завдання 5.31

Відношення площ трикутників за рисунком

Знайти відношення $S_{1}$ до $S_{2}$ для трьох випадків (рис. а, б, в), де дані довжини сторін та відрізків (см):
а) Сторони трикутника 3 і 1; бісектриса ділить сторону на відрізки 1 і $S_{2}$ (за умовою тексту: «довжини відрізків дано в сантиметрах», на малюнку позначено числа 3, 1 для сторін та 1, $S_{2}$ для частин).
б) Сторони трикутника 2 і 4; бісектриса ділить сторону на відрізки 2 і $S_{2}$ .
в) Сторони трикутника 4 і 5; висота ділить сторону на відрізки 1 і $S_{2}$ (або інший випадок подібності). Увага: на малюнку вказані числа, які є довжинами сторін або частин сторін. Для точного розв'язання треба визначити тип відрізка (бісектриса чи медіана), оскільки відношення площ залежить від цього.

Розв’язання

Для випадку а): Трикутники мають спільний кут, сторони пропорційні? Ні, це один трикутник, розбитий на два. Якщо проведено бісектрису, то $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{3}{1} = 3$ .
Для випадку б): Сторони 2 і 4. Якщо проведено медіану (ділить сторону навпіл), то площі рівні ( $\frac{S _{1}}{S _{2}} = 1$ ). Якщо бісектриса, то $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{2}{4} = 0, 5$ .
Для випадку в): Сторони 4 і 5. Якщо проведено висоту (якщо вона є спільною), площі пропорційні основам: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{1}{5}$ або $\frac{4}{5}$ залежно від того, яка частина $S_{1}$ .

Відповідь:

а) 3; б) 0{,}5 (якщо бісектриса) або 1 (якщо медіана); в) $\frac{1}{5}$ або $\frac{4}{5}$ (залежно від позначень на малюнку).

Завдання 5.32

Відношення сторін за площею та бісектрисою

$A D$ — бісектриса трикутника $A B C$ . Площа $△ A B D = 12 см^{2}$ , площа $△ A C D = 20 см^{2}$ . Знайти відношення сторони $A B$ до сторони $A C$ .

Розв’язання

Оскільки $△ A B D$ і $△ A C D$ мають спільну висоту $h$ , проведenu з вершини $A$ до сторони $B C$ , то відношення їхніх площ дорівнює відношенню основ: $\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{B D}{D C}$ .
Підставимо значення площ: $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ . Отже, $\frac{B D}{D C} = \frac{3}{5}$ .
За властивістю бісектриси $A D$ : $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$ .
Отже, $\frac{A B}{A C} = \frac{3}{5}$ .

Відповідь:

$\frac{A B}{A C} = 0, 6$ (або $3 : 5$ ).

Завдання 5.33

Площі трикутників при вписаному колі

У трикутник зі сторонами $a = 17 см$ , $b = 25 см$ , $c = 28 см$ вписано коло. Центр кола сполучено з вершинами. Знайти площі трьох утворених трикутників.

Розв’язання

Знайдемо півпериметр $p = \frac{17 + 25 + 28}{2} = 35 см$ .
Площа трикутника за формулою Герона: $S = p (p - a) (p - b) (p - c) = 35 (35 - 17) (35 - 25) (35 - 28) = 35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7$ .
$S = 44100 = 210 см^{2}$ .
Площі трикутників, утворених центром кола: $S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot r$ , $S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot r$ , $S_{3} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot r$ .
Знайдемо радіус $r$ : $S = p \cdot r \Rightarrow 210 = 35 \cdot r \Rightarrow r = 6 см$ .
Площі: $S_{O A B} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = 51 см^{2}$ ; $S_{O B C} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = 75 см^{2}$ ; $S_{O C A} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = 84 см^{2}$ .

Відповідь:

Площі трикутників дорівнюють відповідно $51 см^{2}$ , $75 см^{2}$ та $84 см^{2}$ .

Завдання 5.34

Площа трикутника за стороною та кутами

Знайти площу трикутника, сторона якого дорівнює $a$ , а прилеглі до неї кути дорівнюють $β$ і $γ$ .

Розв’язання

Позначимо кут при вершині між сторонами $b$ і $c$ як $α$ . Тоді $α = 18 0^{\circ} - (β + γ)$ .
За теоремою синусів для трикутника маємо співвідношення: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$ . Звідси $b = \frac{a sin β}{sin α}$ , $c = \frac{a sin γ}{sin α}$ .
Підставимо вирази для $b$ і $c$ у формулу площі $S = \frac{1}{2} b c sin α$ : $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a sin β}{sin α} \cdot \frac{a sin γ}{sin α} \cdot sin α$ .
Спростимо вираз: $S = \frac{a ^{2} sin β sin γ}{2 sin α}$ . Оскільки $sin α = sin (18 0^{\circ} - (β + γ)) = sin (β + γ)$ , то $S = \frac{a ^{2} sin β sin γ}{2 sin ( β + γ )}$ .

Відповідь:

$S = \frac{a ^{2} sin β sin γ}{2 sin ( β + γ )}$

Завдання 5.35

Площа трикутника за радіусом описаного кола та двома кутами

Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює $R$ , а два кути трикутника дорівнюють $α$ і $β$ . Знайти площу трикутника.

Розв’язання

Позначимо кут при вершині між сторонами $b$ і $c$ як $γ = 18 0^{\circ} - (α + β)$ .
За теоремою синусів: $a = 2 R sin α$ , $b = 2 R sin β$ , $c = 2 R sin γ$ .
Підставимо ці значення у формулу площі $S = \frac{1}{2} ab sin γ$ : $S = \frac{1}{2} \cdot (2 R sin α) \cdot (2 R sin β) \cdot sin γ$ .
Спростимо вираз: $S = 2 R^{2} sin α sin β sin γ$ . Оскільки $γ = 18 0^{\circ} - (α + β)$ , то $sin γ = sin (α + β)$ .

Відповідь:

$S = 2 R^{2} sin α sin β sin (α + β)$

Завдання 5.36

Площа трикутника за стороною, двома кутами та радіусом описаного кола

У трикутнику $A B C$ відомо, що $A C = b$ , $∠ A = α$ , $∠ B = β$ . Знайти площу трикутника. (Примітка: у тексті завдання є помилка в умові щодо радіуса $R$ , оскільки він не заданий, тому розв'язуємо за даними $b, α, β$ ).

Розв’язання

Позначимо кут при вершині між сторонами $b$ і $c$ як $γ = 18 0^{\circ} - (α + β)$ .
За теоремою синусів для трикутника $A B C$ : $\frac{A C}{sin β} = \frac{A B}{sin γ}$ , тобто $\frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin ( 18 0 ^{\circ} - ( α + β ))}$ .
Звідси $c = \frac{b sin ( α + β )}{sin β}$ .
Підставимо $c$ у формулу площі $S = \frac{1}{2} b c sin α$ : $S = \frac{1}{2} b \cdot \frac{b sin ( α + β )}{sin β} \cdot sin α$ .

Відповідь:

$S = \frac{b ^{2} sin α sin ( α + β )}{2 sin β}$