Сторінка 58

Розв’язання

1. Запишемо формулу площі ромба: $S=a^2\sin \alpha$, де $a=9\sqrt{3}$ см, $\alpha =60^{\circ }$.

2. Знайдемо значення синуса кута: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Підставимо числа в формулу: $S=(9\sqrt{3}{)}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=81\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=243\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Отримаємо результат: $S=\frac{243\sqrt{3}}{2}$ см${}^2$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу: $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \alpha$.

2. Підставимо дані: $d_1=8$, $d_2=12$, $\alpha =30^{\circ }$.

3. Знайдемо синус кута: $\sin 30^{\circ }=0,5$.

4. Обчислимо площу: $S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot 0,5=4\cdot 12\cdot 0,5=24$ см${}^2$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу: $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \alpha$.

2. Підставимо дані: $d_1=3\sqrt{3}$, $d_2=4$, $\alpha =60^{\circ }$.

3. Знайдемо синус кута: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Обчислимо площу: $S=\frac{1}{2}\cdot (3\sqrt{3})\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\cdot 3=9$ см${}^2$.

Розв’язання

1. Для пункту 1: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B$. Підставимо числа: $30\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 10\cdot \sin B$.
   $30\sqrt{3}=60\cdot \sin B$, звідки $\sin B=\frac{30\sqrt{3}}{60}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   Кут, синус якого дорівнює $\frac{\sqrt{3}}{2}$, це $60^{\circ }$ або $120^{\circ }$.

2. Для пункту 2: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$. Підставимо числа: $56=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 8\cdot \sin A$.
   $56=56\cdot \sin A$, звідки $\sin A=1$.
   Кут, синус якого дорівнює $1$, це $90^{\circ }$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу для площі: $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin C$.

2. Підставимо відомі значення: $18=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9\cdot \sin C$.

3. Спростимо рівняння: $18=36\cdot \sin C$, звідки $\sin C=\frac{18}{36}=0,5$.

4. Знайдемо кут, синус якого дорівнює $0,5$: це $30^{\circ }$ або $150^{\circ }$. Обидва ці кути можливі для існування трикутника з такими сторонами.

Розв’язання

1. Знайдемо півпериметр $p$: $p=\frac{13+20+21}{2}=\frac{54}{2}=27\text{см}$.

2. Обчислимо площу за формулою Герона: $S=\sqrt{27\cdot (27-13)\cdot (27-20)\cdot (27-21)}=\sqrt{27\cdot 14\cdot 7\cdot 6}$.
   $S=\sqrt{(3^3)\cdot (2\cdot 7)\cdot 7\cdot (2\cdot 3)}=\sqrt{2^2\cdot 3^4\cdot 7^2}=2\cdot 9\cdot 7=126{\text{см}}^2$.

3. Найменша висота $h$ відповідає найбільшій стороні $c=21\text{см}$. Використовуємо формулу $S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$.
   $126=\frac{1}{2}\cdot 21\cdot h\Rightarrow 252=21\cdot h\Rightarrow h=\frac{252}{21}=12\text{см}$.

Розв’язання

1. Знайдемо півпериметр $p$: $p=\frac{11+25+30}{2}=\frac{66}{2}=33\text{см}$.

2. Обчислимо площу трикутника за формулою Герона: $S=\sqrt{33(33-11)(33-25)(33-30)}=\sqrt{33\cdot 22\cdot 8\cdot 3}$.
   Розкладемо на множники: $33=3\cdot 11$, $22=2\cdot 11$, $8=2^3$, $3=3$.
   $S=\sqrt{(3\cdot 11)\cdot (2\cdot 11)\cdot 2^3\cdot 3}=\sqrt{2^4\cdot 3^2\cdot 11^2}=2^2\cdot 3\cdot 11=4\cdot 3\cdot 11=132{\text{см}}^2$.

3. Найбільша висота відповідає найменшій стороні ($a=11\text{см}$). Знайдемо її: $h_{max}=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 132}{11}=\frac{264}{11}=24\text{см}$.

Розв’язання

1. Для трикутника зі сторонами $5,5,6$:
   - Півпериметр $p=\frac{5+5+6}{2}=8\text{см}$.
   - Оскільки трикутник рівнобедрений, знайдемо висоту до основи $6$: $h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\text{см}$.
   - Площа $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12{\text{см}}^2$.
   - Радіус вписаного кола: $r=\frac{12}{8}=1,5\text{см}$.
   - Радіус описаного кола: $R=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}=\frac{150}{48}=\frac{25}{8}=3,125\text{см}$.

2. Для трикутника зі сторонами $25,29,36$:
   - Півпериметр $p=\frac{25+29+36}{2}=\frac{90}{2}=45\text{см}$.
   - Площа за формулою Герона: $S=\sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)}=\sqrt{45\cdot 20\cdot 16\cdot 9}$.
   $S=\sqrt{(9\cdot 5)\cdot (4\cdot 5)\cdot 16\cdot 9}=\sqrt{9^2\cdot 5^2\cdot 4^2\cdot 4}=9\cdot 5\cdot 4\cdot 2=360{\text{см}}^2$.
   - Радіус вписаного кола: $r=\frac{360}{45}=8\text{см}$.
   - Радіус описаного кола: $R=\frac{25\cdot 29\cdot 36}{4\cdot 360}=\frac{25\cdot 29}{40}=\frac{725}{40}=\frac{145}{8}=18,125\text{см}$.

Розв’язання

1. Перевіримо, чи є трикутник прямокутним: $6^2+25^2=36+625=661$, а $29^2=841$. Оскільки сума квадратів катетів не дорівнює квадрату гіпотенузи, трикутник не прямокутний.
   Примітка: У тексті завдання ймовірність помилки в цифрах з боку автора підручника висока (зазвичай беруть 20, 21, 29 або 6, 8, 10), але розв'язуємо за даними умови.

2. Знайдемо півпериметр: $p=\frac{6+25+29}{2}=\frac{60}{2}=30\text{см}$.

3. Обчислимо площу за формулою Герона: $S=\sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)}=\sqrt{30\cdot 24\cdot 5\cdot 1}$.
   $S=\sqrt{(6\cdot 5)\cdot (4\cdot 6)\cdot 5\cdot 1}=\sqrt{6^2\cdot 5^2\cdot 4}=6\cdot 5\cdot 2=60{\text{см}}^2$.

4. Знайдемо радіус вписаного кола: $r=\frac{S}{p}=\frac{60}{30}=2\text{см}$.

5. Знайдемо радіус описаного кола: $R=\frac{abc}{4S}=\frac{6\cdot 25\cdot 29}{4\cdot 60}=\frac{4350}{240}=\frac{435}{24}=\frac{145}{8}=18,125\text{см}$.

Розв’язання

1. Запишемо формулу площі через дві сторони та кут між ними: $S=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$.

2. Оскільки довжини сторін $a$ і $b$ фіксовані, площа залежить лише від значення $\sin \alpha$.

3. Відомо, що найбільше значення синуса ($\sin \alpha =1$) досягається тоді, коли кут $\alpha$ є прямим ($90^{\circ }$).

4. Отже, площа трикутника буде максимальною, якщо кут між сторонами дорівнює $90^{\circ }$. Якщо кут збільшується від 0 до $90^{\circ }$, площа зростає; якщо зменшується від $90^{\circ }$ до 0, площа спадає.