ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 57

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 5.13–5.17 · 5 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 5.13

Площа за півпериметром і радіусом вписаного кола

Периметр трикутника $P = 32 см$ , радіус вписаного кола $r = 1, 5 см$ . Знайти площу трикутника.

Розв’язання

Знайдемо півпериметр $p$ : $p = \frac{32}{2} = 16 см$ .
Обчислимо площу за формулою $S = p \cdot r$ : $S = 16 \cdot 1, 5 = 24 см^{2}$ .

Відповідь:

$24 см^{2}$

Завдання 5.14

Радіус вписаного кола за площею і периметром

Площа трикутника $S = 84 см^{2}$ , периметр $P = 72 см$ . Знайти радіус вписаного кола.

Розв’язання

Знайдемо півпериметр $p$ : $p = \frac{72}{2} = 36 см$ .
Обчислимо радіус вписаного кола: $r = \frac{84}{36}$ . Скорочуємо дріб на 12: $\frac{84}{36} = \frac{7}{3} см$ .

Відповідь:

$\frac{7}{3} см$ (або $2 \frac{1}{3} см$ )

Завдання 5.15

Формула площі паралелограма та кут

Обговорити, чому формула площі паралелограма ( $S = a \cdot b \cdot sin α$ ) не залежить від того, чи гострий, чи тупий кут $α$ .

Розв’язання

Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на відповідну висоту.
Висота, опущена на сторону $a$ , дорівнює $h = b \cdot sin α$ .
Оскільки $sin α = sin (18 0^{\circ} - α)$ , площа не змінюється при заміні гострого кута на тупий (який є суміжним).

Відповідь:

У формулі $S = a \cdot b \cdot sin α$ вид кута не вказується окремо, оскільки синус гострого та суміжного з ним тупого кута рівні. Тому площа однакова незалежно від виду кута.

Завдання 5.16

Площа паралелограма за сторонами та кутом

Знайти площу паралелограма зі сторонами $a$ і $b$ та кутом $α$ між ними, якщо:
1) $a = 52$ см, $b = 9$ см, $α = 4 5^{\circ}$ ;
2) $a = 10$ см, $b = 18$ см, $α = 12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Запишемо загальну формулу площі паралелограма: $S = a \cdot b \cdot sin α$ .
Для першого випадку підставимо значення: $a = 52$ , $b = 9$ , $α = 4 5^{\circ}$ . Знаємо, що $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .
Обчислимо площу: $S_{1} = 52 \cdot 9 \cdot \frac{2}{2} = 45 \cdot \frac{2}{2} = 45$ см $^{2}$ .
Для другого випадку підставимо значення: $a = 10$ , $b = 18$ , $α = 12 0^{\circ}$ . Знаємо, що $sin 12 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
Обчислимо площу: $S_{2} = 10 \cdot 18 \cdot \frac{3}{2} = 903$ см $^{2}$ .

Відповідь:

1) $45$ см $^{2}$ ; 2) $903$ см $^{2}$ .

Завдання 5.17

Площа паралелограма та інформація про університет

Знайти площу паралелограма зі сторонами $73$ см і $52$ см, а кут між ними — $15 0^{\circ}$ . Числове значення площі дорівнює року заснування Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського».

Розв’язання

Запишемо дані: $a = 73$ см, $b = 52$ см, $α = 15 0^{\circ}$ .
Знайдемо значення синуса кута: $sin 15 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ .
Обчислимо площу паралелограма: $S = 73 \cdot 52 \cdot 0, 5 = 73 \cdot 26 = 1898$ см $^{2}$ .
Числове значення площі — $1898$ . Це означає, що університет було засновано у 1898 році. (Факт: НТУУ «КПІ» імені Ігоря Сікорського був заснований у 1898 році).

Відповідь:

Площа паралелограма дорівнює $1898$ см $^{2}$ . Університет було засновано у 1898 році.