ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 56

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 5.1–5.12 · 11 завдань

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 5.1

Площа трикутника за двома сторонами та синусом кута

Знайти площу трикутника $A B C$ , якщо:
1) $A B = 14 см$ , $B C = 6 см$ , $sin B = \frac{2}{7}$ ;
2) $A B = 12 см$ , $A C = 9 см$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ ;
3) $A C = 3 см$ , $B C = 62 см$ , $∠ C = 13 5^{\circ}$ .

Розв’язання

Для пункту 1: $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin B = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 \cdot \frac{2}{7} = 12 (см^{2})$ .
Для пункту 2: $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27 (см^{2})$ .
Для пункту 3: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C \cdot sin C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 62 \cdot sin 13 5^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 62 \cdot \frac{2}{2} = 9 (см^{2})$ .

Відповідь:

1) $12 см^{2}$ ; 2) $27 см^{2}$ ; 3) $9 см^{2}$ .

Завдання 5.2

Площа трикутника DEF за різними даними

Знайти площу трикутника $D E F$ , якщо:
1) $D F = 5 см$ , $E F = 20 см$ , $sin F = 0, 6$ ;
2) $D E = 7 см$ , $D F = 8 см$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ ;
3) $D E = 10 см$ , $E F = 6 см$ , $∠ E = 15 0^{\circ}$ .

Розв’язання

$S = \frac{1}{2} \cdot D F \cdot E F \cdot sin F = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 20 \cdot 0, 6 = 30 (см^{2})$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot D E \cdot D F \cdot sin D = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot sin 6 0^{\circ} = 28 \cdot \frac{3}{2} = 143 (см^{2})$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot D E \cdot E F \cdot sin E = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot sin 15 0^{\circ} = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 (см^{2})$ .

Відповідь:

1) $30 см^{2}$ ; 2) $143 см^{2}$ ; 3) $15 см^{2}$ .

Завдання 5.3

Площа рівнобедреного трикутника за кутом при основі

Знайти площу рівнобедреного трикутника з бічною стороною $16 см$ і кутом $1 5^{\circ}$ при основі.

Розв’язання

Нехай $a = b = 16 см$ (бічні сторони). Кут між ними $γ = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 1 5^{\circ} = 15 0^{\circ}$ .
Обчислимо площу: $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot sin 15 0^{\circ} = 128 \cdot \frac{1}{2} = 64 (см^{2})$ .

Відповідь:

$64 см^{2}$ .

Завдання 5.4

Площа рівнобедреного трикутника

Бічна сторона $a = 6 см$ , кут при вершині $α = 4 5^{\circ}$ . Знайти площу.

Розв’язання

Записуємо формулу для площі рівнобедреного трикутника через бічну сторону $a$ і кут при вершині $α$ : $S = \frac{1}{2} a^{2} sin α$ .
Підставляємо значення $a = 6 см$ та $α = 4 5^{\circ}$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot sin 4 5^{\circ}$ .
Обчислюємо: $S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{2}{2} = 92 см^{2}$ .

Відповідь:

$92 см^{2}$

Завдання 5.5

Площа рівностороннього трикутника

Сторона трикутника $a = 6 см$ . Знайти площу.

Розв’язання

Записуємо формулу площі через сторону $a$ і кут $6 0^{\circ}$ : $S = \frac{1}{2} a^{2} sin 6 0^{\circ}$ .
Підставляємо $a = 6 см$ та $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{3}{2}$ .
Обчислюємо значення: $S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{3}{2} = 93 см^{2}$ .

Відповідь:

$93 см^{2}$

Завдання 5.6

Знаходження сторони трикутника за площею

Площа трикутника $M K N$ дорівнює $75 см^{2}$ , сторона $K N = 15 см$ , кут $∠ K = 3 0^{\circ}$ . Знайти сторону $M K$ .

Розв’язання

Записуємо формулу площі: $S = \frac{1}{2} M K \cdot K N \cdot sin ∠ K$ .
Підставляємо відомі дані ( $S = 75$ , $K N = 15$ , $∠ K = 3 0^{\circ}$ ): $75 = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot 15 \cdot sin 3 0^{\circ}$ .
Знаємо, що $sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ . Розв'язуємо рівняння відносно $M K$ : $75 = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot 15 \cdot 0, 5 \Rightarrow 75 = 3, 75 \cdot M K \Rightarrow M K = \frac{75}{3 , 75} = 20 см$ .

Відповідь:

$M K = 20 см$

Завдання 5.7

Знаходження бічної сторони рівнобедреного трикутника

Площа $S = 363 см^{2}$ , кут при вершині $α = 12 0^{\circ}$ .

Розв’язання

Запишемо формулу для площі рівнобедреного трикутника через бічну сторону $a$ : $S = \frac{1}{2} a^{2} sin 12 0^{\circ}$ .
Підставимо числові значення ( $S = 363$ , $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ): $363 = \frac{1}{2} a^{2} \cdot \frac{3}{2}$ .
Спростимо рівняння: $363 = \frac{3}{4} a^{2}$ , звідки $a^{2} = 36 \cdot 4 = 144$ .
Знайдемо $a$ : $a = 144 = 12$ .

Відповідь:

$12 см$

Завдання 5.8

Знаходження тупого кута трикутника за двома сторонами та площею

Сторони $D E = 9 см$ , $E F = 8 см$ , площа $S = 18 см^{2}$ . Кут $E$ є тупим.

Розв’язання

Запишемо формулу площі: $S = \frac{1}{2} D E \cdot E F \cdot sin E$ .
Підставимо дані: $18 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot sin E$ , що дає $18 = 36 sin E$ .
Знайдемо $sin E$ : $sin E = \frac{18}{36} = 0, 5$ .
Оскільки кут $E$ тупий ( $9 0^{\circ} < E < 18 0^{\circ}$ ), а синус дорівнює $0, 5$ , то $E = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ .

Відповідь:

$15 0^{\circ}$

Завдання 5.9

Знаходження кута між сторонами за площею та довжинами сторін

Площа трикутника $M N K$ дорівнює $53 см^{2}$ , сторони $M K = 5 см$ , $M N = 4 см$ . Потрібно знайти кут $M$ .

Розв’язання

Запишемо формулу площі: $S = \frac{1}{2} M K \cdot M N \cdot sin M$ .
Підставимо числа: $53 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot sin M$ , що спрощується до $53 = 10 sin M$ .
Знайдемо $sin M$ : $sin M = \frac{5 3}{10} = \frac{3}{2}$ .
Оскільки трикутник гострокутний, кут $M$ має бути гострим, тому $M = 6 0^{\circ}$ .

Відповідь:

$6 0^{\circ}$

Завдання 5.10

Площа трикутника за сторонами

Знайти площу трикутника зі сторонами: 1) $13 см, 14 см, 15 см$ ; 2) $2 см, 3 см, 4 см$ .

Розв’язання

Для першого трикутника ( $a = 13, b = 14, c = 15$ ): $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ . Знаходимо множники під коренем: $p - a = 8$ , $p - b = 7$ , $p - c = 6$ .
Площа $S_{1} = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = (3 \cdot 7) \cdot (2^{3}) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7^{2} = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 = 84 см^{2}$ .
Для другого трикутника ( $a = 2, b = 3, c = 4$ ): $p = \frac{2 + 3 + 4}{2} = 4, 5$ .
Знаходимо множники: $p - a = 2, 5$ , $p - b = 1, 5$ , $p - c = 0, 5$ .
Площа $S_{2} = 4, 5 \cdot 2, 5 \cdot 1, 5 \cdot 0, 5 = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{135}{16} = \frac{3 15}{4} см^{2}$ .

Відповідь:

1) $84 см^{2}$ ; 2) $\frac{3 15}{4} см^{2}$ .

Завдання 5.12

Площа рівнобедреного трикутника

Бічна сторона $a = 17 см$ , основа $b = 16 см$ . Знайти площу трикутника. Обговорити доцільність використання формули Герона.

Розв’язання

Позначимо сторони рівнобедреного трикутника як $A C = B C = 17 см$ та основу $A B = 16 см$ . Проведемо висоту $C H$ до основи $A B$ .
Оскільки $△ A B C$ — рівнобедрений, то висота $C H$ є медіаною, тому $A H = H B = \frac{16}{2} = 8 см$ .
Розглянемо прямокутний трикутник $△ A C H$ . За теоремою Піфагора: $A C^{2} = A H^{2} + C H^{2}$ . Підставимо числа: $1 7^{2} = 8^{2} + C H^{2} \Rightarrow 289 = 64 + C H^{2}$ .
Знайдемо висоту: $C H^{2} = 289 - 64 = 225$ , отже, $C H = 225 = 15 см$ .
Обчислимо площу за формулою $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 см^{2}$ .

Відповідь:

Площа трикутника дорівнює $120 см^{2}$ . Формулу Герона використовувати доцільно, але знаходження висоти через теорему Піфагора є більш простим і наочним способом для рівнобедреного трикутника.