ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 48

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 4.17

Площа трикутника в прямокутнику

Точка M — середина сторони CD прямокутника ABCD (рис. 4.4), AB = 6 см, AD = 5 см. Знайти площу трикутника ACM.

Розв’язання

Оскільки ABCD — прямокутник, то $C D = A B = 6 см$ . Точка M є серединою CD, тому $C M = \frac{6}{2} = 3 см$ .
Катетами трикутника ACM є відрізки AC (який дорівнює AD) та CM. Отже, $A C = A D = 5 см$ .
Обчислимо площу: $S_{A C M} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C M = \frac{1}{2} \cdot 5 см \cdot 3 см = 7, 5 см^{2}$ .

Відповідь:

$7, 5 см^{2}$

Доведення формули площі трикутника

На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що $∠ A D B = α$ . Довести, що $S_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B D sin α$ .

Розв’язання

Нехай $h$ — висота опущена з вершини B на пряму AD (основа AC). Тоді площа трикутника ABC дорівнює $\frac{1}{2} \cdot A C \cdot h$ .
Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою $h$ , стороною BD та кутом $α$ (кутом ADB). У цьому трикутнику синус кута $α$ дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: $sin α = \frac{h}{B D}$ .
Звідси висота $h = B D \cdot sin α$ . Підставимо це значення у формулу площі трикутника ABC: $S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot (B D \cdot sin α) = \frac{1}{2} A C \cdot B D sin α$ .

Відповідь:

Доведено