ГДЗ · Геометрія · 9 клас

Сторінка 40

Геометрія, Мерзляк А. Г., Якір М. С., 2026 · № 3.39–3.41 · 3 завдання

Повні розв’язки, як у зошиті. Хочеш розібратися самостійно — під кожним завданням є «Пояснення з репетитором».

§ 1. Розв’язування трикутників

Завдання 3.39

Час проїзду по велотрасі

Траса — трикутник з кутами $5 0^{\circ}$ і $10 0^{\circ}$ . Меншу сторону проїжджають за $1$ год. Знайти час проїзду всієї траси (округлити до десятих).

Розв’язання

Знайдемо третій кут трикутника: $∠ C = 18 0^{\circ} - (5 0^{\circ} + 10 0^{\circ}) = 3 0^{\circ}$ .
Найменший кут — $3 0^{\circ}$ , тому менша сторона лежить проти нього. Позначимо сторони як $a, b, c$ проти кутів $A = 5 0^{\circ}, B = 10 0^{\circ}, C = 3 0^{\circ}$ . Час для меншої сторони ( $c$ ) дорівнює $t_{c} = 1$ год.
За теоремою синусів: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$ . Співвідношення часу для всього шляху $T$ до часу на меншій стороні $t_{c}$ дорівнює співвідношенню довжини периметра до меншої сторони. Периметр $P = a + b + c = c \cdot (\frac{sin 5 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} + \frac{sin 10 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} + 1)$ .
Обчислимо: $sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ , $sin 5 0^{\circ} \approx 0, 766$ , $sin 10 0^{\circ} \approx 0, 985$ . $P / c = 2 (0, 766 + 0, 985) + 1 = 3, 497 + 1 = 4, 497$ .
Час $T = t_{c} \cdot (P / c) = 1 \cdot 4, 497 \approx 4, 5$ год.

Відповідь:

$\approx 4, 5$ год

Завдання 3.40

Вибір найшвидшого шляху

Трикутник $A B C$ , $∠ A = 1 5^{\circ}$ , $∠ B = 5^{\circ}$ . Дорога $A C$ — асфальт, дороги $A B$ і $B C$ — ґрунт. Швидкість на асфальті у $2$ рази більша за швидкість на ґрунті. Вибрати шлях з $A$ до $B$ .

Розв’язання

Знайдемо кути трикутника. $∠ C = 18 0^{\circ} - (1 5^{\circ} + 5^{\circ}) = 16 0^{\circ}$ .
Позначимо швидкість по ґрунту як $v$ , тоді по асфальту $2 v$ . Час по асфальту в $2$ рази менший, ніж час по ґрунту на тій же відстані.
Порівняємо шляхи. Шлях $A \to B$ проходить повністю по ґрунту ( $A B$ ). Шлях через $C$ : $A C$ (асфальт) + $C B$ (ґрунт).
За теоремою синусів: $\frac{A C}{sin 5 ^{\circ}} = \frac{B C}{sin 1 5 ^{\circ}} = \frac{A B}{sin 16 0 ^{\circ}}$ . Позначимо $A B = x$ . Тоді $A C = x \cdot \frac{sin 5 ^{\circ}}{sin 16 0 ^{\circ}}$ , $B C = x \cdot \frac{sin 1 5 ^{\circ}}{sin 16 0 ^{\circ}}$ .
Час по шляху $A \to B$ : $t_{1} = \frac{x}{v}$ .
Час по шляху $A \to C \to B$ : $t_{2} = \frac{A C}{2 v} + \frac{B C}{v} = \frac{x}{2 v} \cdot \frac{sin 5 ^{\circ}}{sin 16 0 ^{\circ}} + \frac{x}{v} \cdot \frac{sin 1 5 ^{\circ}}{sin 16 0 ^{\circ}}$ .
Порівняємо $t_{1}$ і $t_{2}$ . Оскільки $sin 16 0^{\circ} = sin 2 0^{\circ}$ , підставимо значення синусів ( $sin 5^{\circ} \approx 0, 087$ , $sin 1 5^{\circ} \approx 0, 259$ , $sin 2 0^{\circ} \approx 0, 342$ ).
$t_{2} = \frac{x}{v} (0, 5 \cdot \frac{0 , 087}{0 , 342} + \frac{0 , 259}{0 , 342}) \approx \frac{x}{v} (0, 128 + 0, 757) = 0, 885 \frac{x}{v}$ .
Оскільки $0, 885 < 1$ , шлях через $C$ швидший.

Відповідь:

Шлях через село $C$ ( $A \to C \to B$ )

Завдання 3.41

Хто першим доїде?

Трикутник $A B C$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Автомобіль з $A$ ( $v_{1} = 90$ км/год), автобус з $B$ ( $v_{2} = 60$ км/год). Знайти, хто першим доїде до $C$ .

Розв’язання

Знайдемо кут при вершині $C$ : $∠ C = 18 0^{\circ} - (3 0^{\circ} + 7 0^{\circ}) = 8 0^{\circ}$ .
За теоремою синусів: $\frac{A C}{sin 7 0 ^{\circ}} = \frac{B C}{sin 3 0 ^{\circ}}$ . Звідси $A C = B C \cdot \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}}$ .
Порівняємо часи: $t_{A} = \frac{A C}{90}$ , $t_{B} = \frac{B C}{60}$ . Підставимо вираз для $A C$ : $t_{A} = \frac{B C \cdot sin 7 0 ^{\circ}}{90 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}$ .
Порівняємо $t_{A}$ і $t_{B}$ , поділивши обидва на $B C$ : $\frac{t _{A}}{t _{B}} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{90 \cdot sin 3 0 ^{\circ}} \cdot 60 = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{1 , 5 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}$ .
Обчислимо значення: $sin 7 0^{\circ} \approx 0, 94$ , $sin 3 0^{\circ} = 0, 5$ . $\frac{t _{A}}{t _{B}} = \frac{0 , 94}{1 , 5 \cdot 0 , 5} = \frac{0 , 94}{0 , 75} \approx 1, 25$ .
Оскільки $t_{A} > t_{B}$ , автобус прибуде раніше.

Відповідь:

Автобус